§5 初等矩阵.ppt

《§5 初等矩阵.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§5初等矩阵一、初等矩阵的概念和简单性质二、矩阵的等价一、初等矩阵的概念和简单性质定义5.1由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．1.将E的第I行与第j行交换得到初等矩阵称为第一类初等矩阵（又称换法矩阵）.2、用非零数c乘E的第i行，得到初等矩阵称为第二类初等矩阵（又称倍法矩阵）.注倍法矩阵的特点是：；其它元素与单位矩阵相同.3、把E的第j行的k倍加到第i行上，得到初等矩阵称为第三类初等矩阵（又称消法矩阵）.注消法矩阵的特点是：；其它元素与单位矩阵相同.同样可以得到与列变换相对应的初等矩阵，这些工作留给学生.我们指出，对单位矩阵作一次列初等变

2、换所到的初等矩阵也包括在上面三类初等矩阵中.因此换法、倍法、消法初等矩阵是全部初等矩阵.由于初等变换不改变矩阵的秩，从而把可逆矩阵E成可逆矩阵，因此初等矩阵是可逆矩阵.直接验证可得：命题5.1初等矩阵皆可逆，其逆矩阵是同类型的初等矩阵，且这里容易验证命题5.2初等矩阵的转置还是初等矩阵，其转置矩阵是同类型的初等矩阵，且这里矩阵和乘法和初等变换的关系是定理5.1设A是矩阵，对A施行一次行初等变换，就相当于A左乘s级初等矩阵，对A施行一次列初等变换，就相当于A右乘n级初等矩阵.具体地说：1）A相当于把A的i,j两行互换;A相当于把A的i,j两列互换.2）相当

3、于把A的第i行乘以非零数c；A相当于把A的第I列乘以非零数c．3）A相当于A的第j行乘以k加到第i行上；A相当于A的第i列乘以k加到第j列上.证明只证行初等变换的情况，列初等变换的情况类似可证.将A表示成分块于是，这相当于把A的两行交换.2）这相当于把A的第i行乘以c.3)这个定理可以用八个字概括：“左行右列，首尾为主”.二、矩阵的等价定义5.2若矩阵A经过一系列初等变换得到可以化为B，则称A与B等价的（也称A与B相抵）.注：1）矩阵的等价关系具有：反射性、对称性、传递性；2）等价矩阵的秩相等．由定理5.1立得命题5.2设A，B是同型矩阵，则A，B等价的

4、充要条件是：存在初等矩阵，使.与A等价的矩阵有许许多多，那么能否挑出一种简单矩阵，把它作为A的代表呢？定理5.2任意一个矩阵A都与一形如的矩阵等价，且主对角线上１的个数等于A的秩．称这个矩阵为A的标准形．证明如果A＝0，结论显然成立．若，存在，将A的第两行交换，然后将j,1两列交换，所得矩阵的（1，1）元非零，不妨设A中.把A的第一行乘加到第行上，然后第一列乘加到第j列上，A化为，矩阵对重复以上的讨论并继续下去，就可以得到标准形.由初等变换不改变矩阵的秩，故标准形中1的个数等于A的秩.(定理5.2证明完毕）n级可逆矩阵的标准形单位矩阵,由命题6.2存在初

5、等矩阵使，因此我们有定理5.3n级方阵A可逆A能表成初等矩阵的乘积推论1：两个矩阵A、B等价存在s级可逆矩阵P和n级可逆矩阵Q，使B=PAQ．推论2：可逆矩阵可经一系列初等行变换化成单位矩阵E若A可逆，A能表成初等矩阵的乘积,设A=，为初等矩阵.由初等矩阵逆，则，记，则是初等矩阵，且将上面两式合起来，得上式表明用一系列的行初等变换把A化成单位矩阵，用这些初等变换作用于单位矩阵，就可以得到．这样我们得到了一个用行初等变换求逆矩阵的方法.求例1、设解对分块矩阵（A　E）作行初等变换故.探究学习设AX=B，A可逆，则X=B．可以用下面的方法求X若XA=B，A可

6、逆，则X=B．可以用下面的方法求X.解例2．设AX=B，其中求X．，例1设XA=B，其中求X．解