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1、第五节初等矩阵（ElementaryMatrix）及其性质初等矩阵的概念与性质用初等变换求逆矩阵问题与思考第二章矩阵概念及其运算一、初等矩阵的概念与性质【定义2.9】由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵分为三类,分别记为Eij、Ei（k）、Eij（k）；如对三阶单位矩阵E23=（1）Eij:交换单位矩阵的第行（列），得到的初等矩阵:单位矩阵E的第行（列）元素乘以常数，得到的初等矩阵E3（k）=如对三阶单位矩阵：单位矩阵的第行(第列)乘以常数加到第行(第列)，得到的初等矩阵如对三阶单位矩阵E12（k）=1）对A施行一次初等行变换的结果等于用
2、一个相应的初等阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A.初等矩阵有以下性质：行变换：列变换：如：用初等矩阵表示矩形框里的矩阵：2）初等矩阵都是可逆矩阵,并且初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵,即:行变换：BABABA3）初等矩阵的转置还是初等矩阵，即：【定理2.4】矩阵A可逆的充要条件是:存在有限个初等阵P1，P2，…,Pk，使A=P1P2…Pk.【证】充分性:设有初等阵P1，P2，…,Pk,使A=P1P2…Pk.因初等阵是可逆矩阵,且可逆阵的积还是可逆阵，所以A可逆。即A=P1P2…Pk,必要性：设A是可逆阵，所以R(A)=nA经
3、初等变换可以化成单位矩阵E，从而经有限次初等变换可以将E变成A，存在有限个初等阵P1,P2,…,Pl,Pl+1,…,Pk,使A=P1P2…PlEPl+1…Pk,证毕二、用初等变换求逆矩阵【推论1】两个型矩阵A、B等价的充要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B.证A与B等价存在有限个阶初等矩阵及有限个阶初等矩阵使令由定理2-4知P是阶可逆矩阵,Q为阶可逆矩阵且PAQ=BR(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)【推论2】设A是矩阵,P是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵.则【推论3】设A是可逆矩阵,则可以只经过初等行变换化成单位矩阵E.这表明
4、,只经过初等行变换便可将A化成单位矩阵.【证推论3】因A可逆,所以A-1也可逆,由定理2.4存在初等阵P1,P2,…,Ps,使A-1=P1P2…Ps因为A-1A=E于是有P1,P2,…,PsA=E二、用初等变换求逆矩阵得:P1P2…PsA=EP1P2…PsE=A-11.用初等变换求逆矩阵设A是n阶可逆矩阵,则A-1也可逆。从而存在初等阵P1,P2,…,Ps由A-1A=E;A-1E=A-1;结论:若经过一系列初等行变换将A化成单位矩阵E时,则施行同样的一系列的初等行变换就把单位矩阵E化成了逆矩阵A-1用初等变换求逆矩阵的方法:1)构造矩:(AE);2)做初等行变
5、换例1求A的逆矩阵,其中【解】由于所以:注:也可用初等列变换求可逆矩阵的逆如上例:=A-12.用初等变换解矩阵方程（1）设矩阵方程为:AX=B,其中A可逆,则矩阵X=A-1B由A-1A=E;A-1B=X;设:A-1=P1P2…Ps(Pi为初等矩阵)得:P1P2…PsA=EP1P2…PsB=X解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的一般方法:（2）当矩阵A可逆时,如何用初等变换求解矩阵方程:XA=B?想一想例2:设矩阵方程为AX=B,求矩阵X,其中解:由于所以例3设矩阵矩阵满足,其中是的伴随矩阵，求.例四６６页 ６解：三、小结1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为
6、初等变换,变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质2.初等变换5.初等变换的应用用初等变换求逆矩阵的方法:1)构造矩:(AE);2)做初等行变换用初等变换解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的方法:用初等变换解矩阵方程:XA=B(其中A可逆)的方法:4.单位矩阵初等矩阵.一次初等变换作业：6２页习题2-51;2;36６页总习题二6;四、问题与思考习题2-41.矩阵A可逆,且则A=;2.设矩阵方程:则X=;问题与思考答案练习将下列矩阵利用初等变换化为行阶梯形,再化为行最简形,最后化为标准形.注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用初等行变换.化矩阵为标准形时，初等行变
7、换和初等列变换均可以使用.依次为行阶梯形和行最简形矩阵。最后得到的矩阵是的标准形，依次为练习：求方阵 的逆矩阵。例4求解矩阵方程AX=A+X,其中解把所给方程变形为(A-E)X=A.A-E~E,A-E可逆,且
