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1、第四节矩协方差矩阵原点矩中心矩协方差矩阵n维正态分布一、原点矩中心矩1.定义:设X和Y是随机变量,称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩;称它为X的k阶中心矩.可见,均值E(X)是X一阶原点矩,方差D(X)是X的二阶中心矩。(k-thrawmoment)(k-thcentralmoment)可见,协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.称它为X和Y的k+l阶混合(原点)矩.称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.2.定义:设X和Y是随机变量,((k+l)-thmixedrawmoment)((k+l)-thmixedcentralmoment)二、协方差矩阵将二维随机变量(X1,
2、X2)的四个二阶中心矩:排成矩阵的形式:称此矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵(covariancematrix).这是一个对称矩阵类似定义n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵.为(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵.都存在,称矩阵:(i,j=1,2,…,n)若三、n元正态分布的概率密度f(x1,x2,…,xn)则称X服从n元正态分布.其中C是(X1,X2,…,Xn)的协方差矩阵,
3、C
4、是它的行列式,C-1表示C的逆矩阵,X和μ是n维列向量,XT表示X的转置.设XT=(X1,X2,…,Xn)是一个n维随机向量,若它的概率密度为:n元正态分布的几条重要性质1.X=(X
5、1,X2,…,Xn)服从n元正态分布a1X1+a2X2+…+anXn均服从正态分布.对一切不全为0的实数a1,a2,…,an，若X=(X1,X2,…,Xn)服从n元正态分布，Y1,Y2,…,Yk是Xj(j=1,2,…,n)的线性函数，则(Y1,Y2,…,Yk)也服从多元正态分布.2.正态变量的线性变换不变性.3.设(X1,X2,…,Xn)服从n元正态分布，则“X1,X2,…,Xn相互独立”等价于“X1,X2,…,Xn两两不相关”例:设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2),Y~N(0,1).试求Z=2X-Y+3的概率密度.故X和Y的联合分布为正态分布，X和Y的任意线性组合是
6、正态分布.解:X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X与Y独立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5即:Z~N(E(Z),D(Z))故Z的概率密度是:Z~N(5,32)
