第九章 多元函数微分法及其应用例题课件.ppt..ppt

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1、第八章多元函数微分法及其应用§9-1多元函数的基本概念例1.指出集合的所有聚点及其边界。例2．判别是开区域还是闭区域，是有界集还是无界集。例3．指出下列点集是开区域，还是闭区域，是有界集，还是无界集，并指出它的边界例4．求函数的定义域，并用图形表示。例5．设求证例6．设证明例７．设函数证明当点沿通过原点的任意直线趋于时函数皆存在极限，且极限都相等，但是此函数在原点不存在极限。例８．求例９．求例10．求例11．设，证明是上的连续函数。例12．为了使函数在原点连续，怎样定义的值，其中例13．证明函数分别对每个自变量（另一个看作常数）都连续，但作为二元函数在原点不连续。例14．求函

2、数的间断点。例15．求例16．求§9-2偏导数例1．求函数例2．求的偏导数。例3．设求证例4．求的偏导数。例5．求在点处的偏导数。例6．已知理想气体的状态方程（R是常量）求证例7．函数说明此函数在点的两个偏导数存在但在不连续。例8．设求例9．证明函数满足方程，其中。例10．设求并证明§9-3全微分例1．证明函数在点处连续，偏导数存在，但不可微。例2．已知函数说明在可微，但偏导数在原点不连续。例3．计算函数的全微分。例4．计算函数在点的全微分。例5．计算函数的全微分。例6．计算函数在点的全微分。§9-4多元复合函数的求导法则例1．设而求全导数例2．设而求。例3．设而求。例4．设

3、具有二阶连续偏导数，求例5．设的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标系中的形式例6．利用全微分形式的不变性，求。设例7．设具有二阶连续偏导数，求。例8．设其中有二阶连续偏导数，二阶可导，求§9-5隐函数的求导公式例1．验证方程在点的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数，当时的隐函数，并求这个函数的一阶及二阶导数在的值。隐函数存在定理2设函数的某一邻域内具有连续偏导数，且则方程的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数它满足条件并有例2．设求。例3．设为由方程所确定的隐函数，求。例4．设函数由方程确定，且可微，求。隐函数存在定理3设在点的某一邻域内具有对各个变

4、量的连续偏导数，又且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）在点不等于零，则方程组在点的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数，它们满足条件并有例5．设求。例6设函数在点的某一邻域内连续且有连续偏导数，又。（1）证明方程组在点的某一邻域内唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数（2）求反函数对的偏导数。例7．设求。§9-6多元函数微分学的几何应用（三）向量值函数的极限1.定义：设向量值函数在点的某一去心邻域内有定义，如果存在一个常向量，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当t满足对应的函数值都满足不等式那么，常向量叫做向量值函数当时的极限，记作2.性质：向量值函

5、数当时的极限存在的充分必要条件是：的三个分量函数当时的极限存在，在函数当时的极限存在时。（四）向量值函数的连续性1.定义：设向量值函数在点的某一邻域内有定义，若则称向量值函数在连续。2.性质：向量值函数在连续的充分必要条件是：的三个分量函数都在连续。3.是上的连续函数设向量值函数,在中的每一点处都连续，则称在上连续，并称是上的连续函数。（五）向量值函数的导数1.定义：设向量值函数在点的某一邻域内有定义，如果存在，那么就称这个极限向量为向量函数在处的导数（或导向量），记。2.性质：向量值函数在可导（即存在导数）的充分必要条件是的三个分量函数都在可导，当在可导时，其导数。3.在上

6、可导设向量值函数，若在中的每一点处都存在导向量，那么就称在上可导。4.向量值函数求导运算法则设是可导的向量值函数，是常向量，C是任一常数，是可导的数量函数，则例1．设求。例2．设空间曲线的向量方程为求曲线在与相应点处的单位切向量。例3．一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而沿位置向量为的路径螺旋式向上，求（1）滑翔机在任意时刻t的速度向量和加速度向量。（2）滑翔机在任意时刻t的速率。（3）滑翔机在任意时刻的速度和加速度正交的时刻。例4．求空间曲线在处的的切线及法平面方程。例5．求曲线上与平面平行的切线方程。例6．求曲线在点处的切线及法平面方程。例7．求曲面上垂直于直线的切平

7、面方程。例8．证明曲面上任意一点的切平面与不在其上的直线平行（为常数）。例6．平面与椭球面相切，求等于多少。§9-7方向导数与梯度例1．说明函数在点处沿任意方向的方向导数都存在，且有而偏导数都不存在。例2．求函数在点到点的方向的方向导数。例3．求在点沿方向的方向导数，其中的方向角分别为。例4．求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少的最快，沿哪个方向的方向导数为为零。例5．设函数在处沿的方向导数是1，沿的方向导数是-3，求在沿的方向导数。例6．设求（1）在处增加最快的方向以及沿这