人教版数学A版集合与函数函数的单调性与最值.ppt

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时间:2020-01-17

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1、重点难点重点:①函数单调性的定义.②函数的最大(小)值.难点:①函数单调性的证明.②求复合函数单调区间.知识归纳一、单调性定义1.单调性定义:设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,若对于任意的x1,x2∈D,当x1f(x2),则f(x)为区间D上的减函数.2.证明函数的单调性一般从定义入手,也可以用导数证明.(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是:①任取x1、x2∈D,且x1

2、”、配方成同号项的和等);③依据差式的符号确定其增减性.(2)设函数y=f(x)在某区间D内可导.如果f′(x)>0,则f(x)在区间D内为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)在区间D内为减函数.5.奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.三、函数单调性的应用有:(1)比较函数值或自变量值的大小.(2)求某些函数的值域或最值.(3)解证不等式.(4)作函数图象.四、函数的最大(小)值:1.定义:一般地,设函数y=f(x)定义域为Ⅰ,如果存在实数M满足:(1)对任意x∈Ⅰ,都有f(x)≤M(或f(x)≥M);(

3、2)存在x0∈Ⅰ,使得f(x0)=M.称M是函数y=f(x)的最大(或最小)值.2.求法:(1)配方法,(2)判别式法,(3)基本不等式法,(4)换元法,(5)数形结合法,(6)单调性法,(7)导数法.误区警示1.对于函数单调性定义的理解,要注意以下三点(1)函数的单调性是对某一个区间而言的.f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数,在A∪B上不一定单调.(2)单调性是函数在某一区间上的性质,因此定义中的x1,x2在这一区间上具有任意性,不能用特殊值代替.(3)由于定义都是充要性命题,因此若f(x)是增(减)函数,则f(x1)x

4、2).2.在研究函数的单调性时,应先确定函数的定义域一、利用复合函数的单调性解题对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调增(减)函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上是单调函数,那么函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上的单调性由以下表格所示,实施该法则时首先应考虑函数的定义域.t=g(x)y=f(t)y=f[g(x)]增增增增减减减增减减减增答案:C答案:A答案:D答案:C点评:f(x)在R上单调递减,a的取值不仅要保证(-∞,1)和[1,+∞)上单调递减,还要保证x1<1,x2≥1时有f(

5、x1)>f(x2).[例4]定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b).(1)证明:f(0)=1;(2)证明:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;(3)证明:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围.(3)证明:设x1<x2,则x2-x1>0.∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1又f(x1)>0,∴f(x2-x1)·f(x1)>f(x1).∴f(x2)>f(x1),∴f(x

6、)是R上的增函数.(4)由f(x)·f(2x-x2)>1,f(0)=1得f(3x-x2)>f(0).又f(x)是R上的增函数,∴3x-x2>0,∴0<x<3.解析:(1)f(x)在R上是单调递减函数证明如下:令x=y=0,∴f(0)=0,令y=-x可得:f(-x)=-f(x),在R上任取x1、x2且x10,∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1).又∵x>0时,f(x)<0,∴f(x2-x1)<0,即f(x2)

7、,3]上也是减函数.∴f(-3)最大,f(3)最小.f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)答案:B(09·陕西)定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))>0,则当n∈N*时,有()A.f(-n)0得f(x)在(-∞,0]上为增函数.又f(x)为偶函数,所以f(x

8、)在[0,+∞)上为减函

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