人教版数学A版集合与函数函数的单调性与最值.ppt

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1、重点难点重点：①函数单调性的定义．②函数的最大(小)值．难点：①函数单调性的证明．②求复合函数单调区间．知识归纳一、单调性定义1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，若对于任意的x1，x2∈D，当x1f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数．2．证明函数的单调性一般从定义入手，也可以用导数证明．(1)利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1

2、”、配方成同号项的和等)；③依据差式的符号确定其增减性．(2)设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数．5．奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．三、函数单调性的应用有：(1)比较函数值或自变量值的大小．(2)求某些函数的值域或最值．(3)解证不等式．(4)作函数图象．四、函数的最大(小)值：1．定义：一般地，设函数y＝f(x)定义域为Ⅰ，如果存在实数M满足：(1)对任意x∈Ⅰ，都有f(x)≤M(或f(x)≥M)；(

3、2)存在x0∈Ⅰ，使得f(x0)＝M.称M是函数y＝f(x)的最大(或最小)值．2．求法：(1)配方法，(2)判别式法，(3)基本不等式法，(4)换元法，(5)数形结合法，(6)单调性法，(7)导数法．误区警示1．对于函数单调性定义的理解，要注意以下三点(1)函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数，在A∪B上不一定单调．(2)单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．(3)由于定义都是充要性命题，因此若f(x)是增(减)函数，则f(x1)x

4、2)．2．在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域一、利用复合函数的单调性解题对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调增(减)函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，那么函数y＝f[g(x)]在区间(a，b)上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域.t＝g(x)y＝f(t)y＝f[g(x)]增增增增减减减增减减减增答案：C答案：A答案：D答案：C点评：f(x)在R上单调递减，a的取值不仅要保证(－∞，1)和[1，＋∞)上单调递减，还要保证x1<1，x2≥1时有f(

5、x1)>f(x2)．[例4]定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b)．(1)证明：f(0)＝1；(2)证明：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；(3)证明：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)·f(2x－x2)>1，求x的取值范围．(3)证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1)．∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1又f(x1)＞0，∴f(x2－x1)·f(x1)＞f(x1)．∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x

6、)是R上的增函数．(4)由f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1得f(3x－x2)＞f(0)．又f(x)是R上的增函数，∴3x－x2＞0，∴0＜x＜3.解析：(1)f(x)在R上是单调递减函数证明如下：令x＝y＝0，∴f(0)＝0，令y＝－x可得：f(－x)＝－f(x)，在R上任取x1、x2且x10，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)．又∵x>0时，f(x)<0，∴f(x2－x1)<0，即f(x2)

7、,3]上也是减函数．∴f(－3)最大，f(3)最小．f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)答案：B(09·陕西)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))>0，则当n∈N*时，有()A．f(－n)0得f(x)在(－∞，0]上为增函数．又f(x)为偶函数，所以f(x

8、)在[0，＋∞)上为减函