弹塑性力学chapter5.ppt

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1、应用弹塑性力学APPLIEDELASTO-PLASTICITYOFSOLIDS1Chapter5弹性力学问题的建立5-1弹性力学基本方程1、平衡方程在直角坐标系中：在柱坐标系中：简记为：应用弹塑性力学APPLIEDELASTO-PLASTICITYOFSOLIDS2在球坐标系中2、几何方程：在直角坐标系中：简记为：体积应变在柱坐标系中3体积应变在球坐标系中体积应变应用弹塑性力学APPLIEDELASTO-PLASTICITYOFSOLIDS其中为工程弹性常数3、物理方程（本构方程、广义虎克定律）：4以应力分

2、量表示应变分量：以应变分量表示应力分量：简记为：其中、为拉梅系数。体积应变。应用弹塑性力学APPLIEDELASTO-PLASTICITYOFSOLIDS5以应变能密度函数和应变余能密度函数表示应力和应变：应变能应变余能则4、边界条件：外力边界条件：简记为：位移边界条件：简记为：应用弹塑性力学APPLIEDELASTO-PLASTICITYOFSOLIDS5、应变协调方程：6应用弹塑性力学APPLIEDELASTO-PLASTICITYOFSOLIDS7讨论：1°当物体处于弹性状态时，弹性力学基本方程有：平衡方程：3个；几何

3、方程：6个；物理方程：6个共15个基本方程，可以在给定的边界条件下求解15个未知量：位移分量：u,v,w3个应变分量：6个应力分量：6个2°弹性力学的基本方程组一般地控制了弹性体内应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律。考虑具体边界条件的定解问题则具体给出了各边值问题的特定规律。应用弹塑性力学APPLIEDELASTO-PLASTICITYOFSOLIDS3°一般情况下,求解弹性力学问题要求给出以下一些基本条件.a、弹性体的几何形状，物理性质。b、作用于弹性体上的体力和面力。c、弹性体受约束的情况。85-2.求解弹性力学问题的基本方法应用弹塑性力学APPLIE

4、DELASTO-PLASTICITYOFSOLIDS1．提出：按基本未知量划分：考虑到弹性力学问题基本方程中应力，应变和位移分量之间的关系,可以位移分量为基本未知量求解，或以应力分量为基本未知量求解，分别称之为位移法和力法。按求解技术划分：考虑到弹性力学问题的复杂性，对于一些较为典型的问题，可以用解析法求解。但对于大量的弹性力学问题，要采用近似法或数值方法求解。如有限差分法，有限单元法等。9应用弹塑性力学APPLIEDELASTO-PLASTICITYOFSOLIDS2．位移法求解的主要方程：以位移分量为基本未知量时，1°应力分量2°平衡方程（拉

5、梅方程）展开为：其中3°外力边界条件：10应用弹塑性力学APPLIEDELASTO-PLASTICITYOFSOLIDS3．力法求解的主要方程：以应力分量为基本未知量时，协调方程为(Beltrami-Michell方程)：11应用弹塑性力学APPLIEDELASTO-PLASTICITYOFSOLIDS其中常体力下，有*注意：无论是位移法还是力法求解弹性力学问题，需要在严格的边界条件下求解复杂的偏微分方程组，在数学上往往是比较困难的。对于一些典型问题，常采用逆解法和半逆解法。125-3.弹性力学解的唯一性定理应用弹塑性力学APPLIEDELASTO-PLAST

6、ICITYOFSOLIDS1、提出：1°对偏微分方程而言，解的适定性问题是非常重要的。所谓适定性，包括：存在性、稳定性、唯一性。弹性力学问题的控制方程是偏微分方程组，也要讨论解的适定性。2°由于弹性力学问题求解的复杂性，常采用逆解法和半逆解法，认为选取的解答只要满足基本方程和边界条件，就是正确的解。这只有在解是唯一性这样一个前提下才能成立。2、适定性讨论：1°解的存在性：存在性仅从数学上探讨是不容易的，但对于弹性力学问题，从物理上看，这是很自然的，因为有了受力和约束，弹性体就会存在应力、应变和位移。2°解的稳定性：稳定性是指当定解条件有微小变动时，解也只作微小

7、变动。稳定性的讨论不论在数学上还是在物理上都是很复杂的，这里只能先做肯定的认可。13应用弹塑性力学APPLIEDELASTO-PLASTICITYOFSOLIDS3°解的唯一性唯一性定理：受力作用和边界位移约束的弹性体处于平衡时，其应力、应变和位移的解是唯一的。证明：采用反证法。假设可能存在两组解：这两组解对应于同一边界条件和受力情况。则这两组解的差：必然满足体力为零的平衡方程：以及外力为零的外力边界条件：和位移为零的位移边界条件：这里为弹性体的全部边界，为外力边界，为位移边界。14应用弹塑性力学APPLIEDELASTO-PLASTICITYOFSOLIDS

8、显然，解对应于不受外力作用、边界上不产