泰勒公式及其应用_王国强.pdf

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1、第28卷德州学院学报Vol.281892012年7月JournalofDezhouUniversityJuly.2012泰勒公式及其应用王国强,胡法领，盛大征(郑州大学西亚斯国际学院，郑州451150)摘要：本文研究了泰勒公式在工科高等数学通用教材中编写上存在的不足，并给出了带有不同余项的泰勒公式的理论处理建议，最后介绍了泰勒公式的几种典型应用.关键词：泰勒公式；泰勒展开；余项中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：1004-9444(2012)-0189-02第二，教材中通过改写泰勒公式的余项形式得到泰在高等数学中，多项式是较为简单的函数，

2、泰勒公式提勒公式，虽然这样处理有助于学生接受，但同时加强了泰供了一种用多项式逼近一般函数的一种方法，这就给一些问勒公式成立的条件，并且脚注中给出的条件只是稍微弱题的处理带来了很大的方便，例如极限求解、级数的敛散性化，仍然强化了成立条件，而事实上条件不用那么苛刻，建议判别等问题.但在如今一些高等数学教材中，特别是许多大学单独给出泰勒公式，其内容如下叙述：使用的同济大学主编的《高等数学》教材(以下简称教材)中，定理2如果函数在点的阶导数存在，则在泰勒公式理论处理时有所欠缺及对泰勒公式的应用所用篇幅不足，造成学生特别是想考研的学生在处理一些问题时的困

3、惑和无所适从，本文分析了其不足及弥补方法，并提供了应用泰勒公式解决一些问题的例子，降低了学生学习泰勒公式和利用其解决问题的上手难度.该定理可以利用洛比达法则和导数定义证极限教材中给出的泰勒公式理论理论思路是：首先，以泰勒中值定理给出带有拉格朗日型项的泰勒公式，并指出泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广[1]；其次，指出在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可以改写成带有佩亚诺型余项的泰勒公式，并在页脚标注出事实上公式只为零所得，其证明不是本文主要讨论内容，故此处不作详细要在“在含有的开区间内具有直到阶的导证明.如此处理，弱化了泰勒公式的成立条件，

4、为其广泛数，且在内连续”的条件下就成立.应用扫清了障碍，并且定理2的证明过程是洛比达法则和导存在的不足是，第一，既然泰勒中值定理是拉格朗日中数定义的一个典型应用实例，使学生得到了一个很好的练习.值定理的推广，那么在定理成立的条件上应该类似，或者说泰勒中值定理条件应是拉格朗日中值定理条件的推广，而教泰勒公式在高等数学中有着重要地位，是泰勒级数的基材中定理没指出端点的情形，所以建议泰勒中值定理包括区础，是研究生数学考试的重点和难点，对函数作泰勒展开是间端点的处理，如下叙述：求解很多较为复杂问题的工具和方法.教材中在给出几个重定理1设在上有直到阶的连

5、续导数，在要函数的麦克劳林公式(时的泰勒公式)之后，仅仅给上阶导数存在，，则有了一个利用泰勒公式求解极限的例子，而且在教材中其它章节也鲜少提到泰勒公式，这显然不能凸显泰勒公式的重要性，练习例子不足，不利于学生对泰勒公式的掌握，下面给出一些典型应用及其例子.2.1利用泰勒公式求解极限其中介于与之间.有些极限使用其他方法求解时比较困难，而利用已知重该定理是成立的，证明方法与教材类似，此处不再赘述.要函数的泰勒公式，对函数作泰勒展开，往往可以使问题变如此处理，说泰勒中值定理是拉格朗日中值定理推广，学生得简单，应刃而解.下面是一些例子：就会感到更自然,

6、而且在利用泰勒公司处理问题时，对于端点数列极限化为函数极限，用泰勒展开求的情况就不用单独处理，另作讨论.190德州学院学报第28卷极限于是解原式于是由，知又因例2.数列极限化为函数极限，用泰勒展开故求极限即2.3利用泰勒公式判断某些正项级数的敛散性利用泰勒公式找出与正项级数的通项等价的解原式无穷小量，从而根据比较判别法由的敛散性得知的敛散性,这种方法可以在介绍正项级数时给出.例如：注意到例4.确定的敛散性.解因为当时，由泰勒公式有故原式而级数收敛.从而收敛.2.2利用泰勒公式证明某些命题.在给出了多阶可导条件的问题中，可考虑泰勒公式求解和证明.

7、例如：“工欲善其事，必先利其器”，弄清楚泰勒公式成立的条件及泰勒公式的应用是很重要的事情，是解决很多其他问题例3.设在内二阶可导，且.的基础，借助一些典型例子能够更深刻地理解泰勒公式的作证明，其中用，使掌握泰勒公式事半功倍.参考文献：[1]同济大学数学系.高等数学(上册)[M].北京：高等教育出版证明不妨设社，2008:278-285.[2]侯风波.高等数学[M].北京：科学出版社，2007:226-227.将在点展开[3]考研命题研究组，马小土.硕士研究生入学考试单元测试1000题数学理工分册[M].北京：中国人民大学出版社.其中在和之间