上海交通大学2014秋季数分I期中考试.pdf

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1、上海交通大学试卷解答（2014至2015学年第1学期2014年12月03日）班级号_________________学号姓名课程名称《数学分析》(电院、管院期中考试)成绩题号一二三四五六七总分满分20122424866100得分一、填空题(每小题4分，共20分)1.函数f在I上不一致连续的肯定叙述是：∃εδ>0,∀>0,∃xxIxx′′′,∈,−′′′<−δ:()fx≥′fx()′′ε.n2.设fx()limarctan(1=+x)，则fx()的定义域为(1,)−+∞，间断点为x=1.n→∞2x3.设y=ln(sec(2))，则y′(0)=0.4.设函数fx()在U(0)具有二阶连续导

2、数，且ff(0)==0,′(0)1,f′′(0)=−2，则fxx()−lim=−1.2x→0x115.设fx()=+ln(1)1+x−，则当x→0时，fx()对x的阶为2.x2二、单项选择题(每小题3分，共12分)6.设函数fx()在[,]ab上二阶可导，且fafbfx()=(),′′()0≠，则下列命题成立的是……(C)(A)在(,)ab内fx′()0≠.(B)至少存在ξξ,∈(,)ab，使ff′′()ξξ==()0.1212(C)存在唯一点ξ∈(,)ab使f′()0ξ=.(D)至少存在一点ξ∈(,)ab，使f()0ξ=.数分C1共3张6页第1页o7.设函数f在x0处连续

3、，在Ux()0内可导，且limfxA′()=(有限数)，则(A)xx→0(A)fx()在x处可导，且fx′()在x处连续.00(B)fx()在x处可导，但x是fx′()的第一类间断点.00(C)fx()在x处可导，但x是fx′()的第二类间断点.00(D)fx()在x处未必可导.08.设函数fDab∈(,)，下列断语中……(A)①若fx′()在(,)ab内有界，则fx()在(,)ab内必有界.②若fx()在(,)ab内有界，则fx′()在(,)ab内必有界.(A)①对，②不对.(B)①不对，②对.(C)①与②都对.(D)①与②都不对.nn−11+9.设集合Γ=,1n=⋅

4、⋅⋅,2,，则……(C)nn+2(A)Γ是闭区间[0,1]的开覆盖.(B)Γ是开区间(0,1)的开覆盖，且Γ存在有限子集覆盖开区间(0,1).(C)Γ是开区间(0,1)的开覆盖，但Γ中的任意有限子集不能覆盖开区间(0,1).(D)Γ不是开区间(0,1)的开覆盖.三、求下列极限(每小题8分，共24分)1fx()xx−010.lim，其中xf000>>0,(xf)0,′(x)≠0.xx→0fx()0fx()ln()fx()0lim解：原式xx→0xx−0=e----------------(2)fxfx()()−00fx′()lim==eexx→0fxxx()00(−)

5、fx()0----------------(8)tanxx−sin11.lim.2x→0xxln(1+)−x2sin(1cos)xx−1x解：原式==limlim----------------(4)2xx→→00xxln(1+)−x+2−ln(1x)x12x==lim1−-----------------(8)2x→01−11+x数分C1共3张6页第2页x12cos(e)1xx−+12.lim2.3x→0xx22()xex3x1(−+oxe()−)1+解：原式=lim22-----------------（3）3x→0x22xxx3−(12+++xoxoxe())(())+3322−

6、xox+()==limlim=1-----------------（8）−33xx→→00xx四、计算题(每小题8分，共24分)lnxsinx13.已知y=，求dy.xsinxlnln(x)解：ye=x-------------------（2）sinxlnlnx1sinxxxcossx−inxdy=+ex(lnlnx⋅)dx2xxsinxxsinxxlnx1sinlnxxcosx−sinx=+()(ln⋅)dx------------------------（8）xxxxxsin14.设yyx=(）是由方程lnxfyy+=()确定的隐函数，其中f二阶可导，且f′≠1，2d

7、ydy求，.2dxdx1解：方程两边对x求导，得+=fyyy′′′()x1所以y′=-----------------------（4）xfy(1−′())1(−−fyxfyy′′)(′)′y′′=−22xf(1−′())y2−−(1fy+′′())fy′()=------------------------（8）23xf(1−′())y()n15.设fx()ln(32)(13)=[−x+x]，求f(1).解：fx()ln(32)ln(13)=