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1、老司多媒体教学系列师弹性力学华中科技大学力学系司继文2014年2月28日1老司师多媒体教学系列弹性力学第五章习题：5-35-45-55-65-75-82第五章弹性力学问题的建立§5-1弹性力学问题的微分方程提法§5-2位移解法§5-3应力解法§5-4叠加原理§5-5解的唯一性定理§5-6圣维南原理§5-7几个简单问题的解3第五章弹性力学问题的建立TheGoverningEquationofElasticity静力(运动)学弹性力学偏微分建立方程的边值问题变形几何学问题的解法本构关系讨论解的唯一性（
2、物理学）局部影响原理§5-1弹性力学问题的微分方程提法FormulationofBoundary-ValueProblems一、弹性力学的基本方程1.平衡方程(运动方程)s+=X0(=r&&u)ij,ijj2¶s¶t¶tæö¶uxyxzx+++=X0ç÷r23个方程¶x¶¶yzèø¶t2¶t¶¶stæö¶vxyyzy+++=Y0ç÷r2Navier方程¶x¶¶yzèø¶t联系应力与体力2¶¶ts¶tæö¶wxzzyz+++=Z0ç÷r2¶x¶¶yzèø¶t2.几何方程¶ue=x1¶xeij=+(u
3、ui,jj,i)2¶ve=y¶y6个方程¶we=z¶zCauchy方程¶¶wv联系应变与位移g=+yz¶¶yz¶¶uwg=+zx要求e满足¶¶zxij变形协调方程¶¶vug=+xy¶¶xye+e-ee-=0ij,klkl,ijik,jljl,ik222¶e¶¶egxyxy+=22¶y¶x¶¶xy6个222¶¶eg¶eyzyz方程+=22¶z¶y¶¶yz222¶¶eg¶ezxzx+=22¶x¶z¶¶zx变形协调方程¶æö¶¶gg¶g¶2eyzzxxyxç÷-++=2（Saint-Venant¶xèø
4、¶x¶y¶z¶¶yz2方程）¶æö¶gzx¶gxy¶¶geyzyç÷-++=2¶¶yèøy¶z¶x¶¶zx¶æö¶¶gg¶¶ge2xyyzzxzç÷-++=2¶zèø¶z¶x¶y¶¶xy应变-应力公式(Hooke)3.本构方程1ex=éùëûsx-+n(ssyz)E应力-应变公式(Lamé)1ey=éùëûsy-+n(ssxz)s=+lqe2GExx1s=+lqe2Gez=éùëûsz-+n(ssxy)yyEs=+lqe2G21(+n)zzgtxy=xyEtgxy=Gxy21(+n)6个gtyz=
5、yzEtg=Gyzyz方程21(+n)gt=zxzxtg=GEzxzx1+nne=-ssdijijkkijs=+2GeledEEijijkkij12-nqQ=Q=+(3lq2G)E12-nskk=+(3le2G)kkeskk=kkE二、微分方程问题的提法求解弹性力学问题的目的，在于求出物体内各点的应力和位移，即应力场、位移场。此方程位移分量ui3个组有解基本未知量应力分量sij6个15个应变分量eij6个15个未知量平衡方程3个15个方程泛定方程几何方程6个15个本构方程6个弹性力学的基本方程组一
6、般地控制了物体内部应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而每一个具体的问题反映在各自的边界条件上。1.定解条件应力边界条件——在力边界Ss上处处给定外部作用力Xi(X,Y,Z)。边界条件:域内应力场的边界值应满足Cauchy公式。3个X0=自由表面sn=Xijijisl+ttm+=nXxyxzxtl+stm+=nYSsxyyzytl+tsm+=nZxzyzz位移边界条件——在位移边界Su上处处给定位移约束ui(u,v,w)。边界条件:域内位移场的边界值应等于给定边界值。3个uu=Siiuu=u,
7、v==v,wwØ有时也可指定边界位移的导数值（例如：转角为零）或应变值；Ø在静力问题中所给位移应足以防止物体的刚体运动。混合边界条件——在部分边界Ss上给定外力，部分边界Su上给定位移。两域之和总边界Ø在边界面S上处处都应给定力或位移边界条件，如SsUSSu=有遗漏，则解是不确定的Ø在；已经给定力（位移）边SSI=Æsu界条件的地方不能再指定相应的位移（力）,否则无解。两域之交空域边界条件:sjinj=XiinSsSsSuu=uinSiiu初始条件——对于弹性动力学问题，给定初始时刻t=0的位移分
8、量和速度分量。初始条件:t=0时¶uu==f11(x,y,z)j(x,y,z)¶t¶vv==f22(x,y,z)j(x,y,z)¶t¶ww==f33(x,y,z)j(x,y,z)¶t已知函数已知函数2.弹性力学边值问题的提法边值问题——在给定的边界条件下求解偏微分方程组的问题，称为偏微分方程组的边值问题。对于已知初始几何形状和材料性质的物体，在物体内部给定体力X，在力边界S上给定面力isX，在位移边界S上给定位移iuu，求偏微分方程组在满足边界i条件下的解u、s、e。iijij求s
