弹性力学公式.pdf

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1、应用弹塑性力学考试用基本公式-1弹性力学基本方程1、平衡方程⎧∂σ∂τ∂τxyxzx+++f=0⎪x∂x∂y∂z⎪⎪∂τxy∂σy∂τzy在直角坐标系中：⎨+++fy=0简记为：∂x∂y∂z⎪⎪∂τxz∂τyz∂σzσ+f=0+++f=0ji,ji⎪z⎩∂x∂y∂z⎧∂σ1∂τ∂τσ−σr+θr+zr+rθ+f=0⎪rrzrr∂∂θ∂⎪⎪∂τrθ1∂σθ∂τzθ2τrθ在柱坐标系中：⎨++++fθ=0∂rr∂θ∂zr⎪∂τ1∂τ∂στ⎪rz+θz+z+rz+f=0⎪⎩∂rr∂∂zrz⎩∂rr∂θ∂zr应用弹塑性力学考试用基本公式-2在球坐标系中⎧∂σr1∂τθr1∂τ

2、ϕr1[()]+++2σ−σ+σ+τctgϕ+f=0⎪rθϕϕrr∂rrsinϕ∂θr∂ϕr⎪⎪∂τrθ1∂σθ1∂τϕθ1()⎨+++3τ+2τctgϕ+f=0sinrθϕθθ⎪∂rrϕ∂θr∂ϕr⎪∂τrϕ1∂τθϕϕ1∂σϕ1[()]+++3τ+σ−σctgϕ+f=0⎪∂sin∂∂rϕϕθϕ⎩rrϕθrϕr2、几何方程：在直角坐标系中：∂u∂v∂u⎫θrε=γ=+x∂xxy∂x∂y⎪⎪∂v∂w∂v⎪εy=γyz=+⎬ϕ∂y∂y∂z⎪∂w∂u∂w⎪ε=γ=+zzx⎪∂z∂z∂x⎭1∂u∂v∂w简记为：εij=(uj,i+ui,j)体积应变θ=∂x+∂y+∂z2应用弹塑性力学考试用基

3、本公式-3在柱坐标系中∂u1∂u∂uurrθθε=γ=+−r∂rrθrrr∂θ∂1∂uu∂u1∂uθ+rθzε=+γ=+体积应变θr∂rθzzrθ∂∂θ()∂uz∂uz∂urθ=1∂rur+1∂uθ+∂uzε=γ=+zzr∂z∂r∂zr∂rr∂θ∂z在球坐标系中1∂u∂u∂ur1∂urr∂uθγ=+()εr=rθ∂rrsinϕ∂θ∂rr1∂∂u1⎛1∂u⎞ϕθ=[(i)]=++γ[usinϕ+]ε⎜uructgϕ⎟θϕθθϕr∂rsinϕ∂ϕ∂θ⎝sinϕθ⎠1∂uϕur∂uϕ1∂urγ=r()+ε=+ϕrϕr∂r∂rrr∂ϕϕ1∂21∂∂u体积应变()[(sin)θ]体积

4、应变θ=(ru)+[(usinϕ)+]2rsinϕr∂rrϕ∂ϕ∂θ应用弹塑性力学考试用基本公式-43、物理方程（本构方程、广义虎克定律）：以应力分量表示应变分量：11εx=[σx−ν(σy+σz)]γxy=τxy其中E,μ为工程弹性常数EG11ε=[σ−ν(σ+σ)]γ=τyyzxyzyzEEGG=112(1+μ)εz=[σz−ν(σx+σy)]γzx=τzxEG以应变分量表示应力分量：σx=λθ+2Gεxτxy=2Gεxy=Gγxy其中λ、G为拉梅系数。μEσ=λθ+2Gετyz=2Gεyz=Gγyzλ=yy()()1+μ1−2μσz=λθ+2Gεzτzx=2Gεzx=Gγ

5、zxEG=2(1+μ)简记为：σ=λθδ+2Gεijijij体积应变。θ=ε+ε+εxyz应用弹塑性力学考试用基本公式-5以应变能密度函数和应变余能密度函数表示应力和应变：∂U应变能U0=∫σijdεij则σ=0ij∂εij应变余能*U=σε−U0ijij0*∂U04、边界条件：ε=ij∂σij外力边界条件：⎧σl+τm+τn=T简记为：xyxzxx⎪⎨τxyl+σym+τzyn=Tyσjilj=Ti⎪τl+τm+σn=T⎩xzyzzz位移边界条件：⎧u=u简记为：⎪⎨v=vu=u⎪ii⎩w=w应用弹塑性力学考试用基本公式-65、应变协调方程：2∂2∂2∂εxεyγx

6、y+=22∂y∂x∂x∂y22∂2∂εy∂εzγyz+=22∂z∂y∂y∂z222∂ε∂ε∂γzxzx+=22∂x∂z∂z∂x2∂∂∂εx∂⎛∂γzxγxyγyz⎞2=⎜+−⎟∂y∂z∂x⎝∂y∂z∂x⎠2∂εy∂⎛∂γxy∂γyz∂γzx⎞2=⎜+−⎟∂z∂x∂y⎝∂z∂x∂y⎠2∂∂∂εz∂⎛γyz∂γzxγxy⎞2=⎜+−⎟∂x∂y∂z⎝∂x∂y∂z⎠应用弹塑性力学考试用基本公式-72．位移法求解的主要方程：以位移分量为基本未知量时，∂uvw∂∂1°应力分量σλij=+θδijGu()ij,,+uji其中θ==++uii,∂xyz∂∂22°平衡方程（拉梅方程）(λ+GG)θ,ii+∇+

7、=ufi0展开为：∂θ2()λ++GG∇u+fx=0∂x其中∂θ2()λ++GG∇v+fy=0∂y∂2∂2∂22∇=++∂θ2222(λ++GG)∇w+fz=0∂x∂y∂z∂z3°外力边界条件：⎧∂∂uv∂∂uw∂u⎪(2)(λθ++GlG+)(mG++)nT=x∂∂xx∂∂yx∂z⎪⎪∂∂uv∂v∂∂wv⎨GlG()+++(λθ2)()m++=GnTy⎪∂∂yx∂y∂∂yz⎪∂∂uw∂∂vw∂w⎪Gl()+