弹性力学讲义(部分)

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1、目录第一章弹性体的内力分析31.1弹性体的受力分析31.2弹性体内力的表征—应力61.3不同坐标系中应力分量的变换61.4柱坐标系和球坐标系中的应力71.5一些特殊方向上的应力分量91.5.1剪应力为零的情况—主应力问题91.5.2主坐标系中等倾面上应力分量101.5.3最大正应力及其方向的确定√101.5.4最大剪应力及其方向的确定111.6几种特殊的应力状态111.6.1简单应力状态——单向拉/压111.6.2特殊的平面应力状态——纯剪切121.6.3特殊的三维应力状态——三向等拉/压121.7应力张量的球形分解131.8应力对

2、位置的变化规律—平衡方程131.8.1直角坐标系下的平衡方程131.8.2柱坐标系下的平衡方程141.8.3球坐标系下的平衡方程16第二章弹性体的变形分析182.1弹性体变形程度的表征—应变182.2直角坐标系中位移与应变的关系—几何方程222.3不同坐标系中的应变分量的转换232.4柱角坐标系和球坐标系下的应变252.5应变分量定义的统一形式262.6特殊方向上的应变分量272.6由柯西应变求位移292.6.1线积分法292.6.2位移单值可积的条件——应变协调方程332.6.3位移解中积分常数的讨论37第三章弹性体的变形与受力的

3、关系433.1弹性体应力-应变关系一般理论433.2弹性体应力-应变关系的方向性453.3弹性体应力-应变关系的均匀性54第四章弹性力学一般方程及其退化574.1三维线弹性力学定解问题574.2三维线弹性力学定解问题基本解法624.2.1位移法624.2.2应力法634.3线弹性力学定解问题的退化66724.3.1二维线弹性力学定解问题664.3.2一维线弹性力学定解问题69第五章弹性力学的一般原理835.4最小势能原理835.4.1最小势能原理的分量展开推导835.4.2最小势能原理的指标记法推导855.5虚功原理875.6最小余

4、能原理885.6.1最小余能原理的分量展开推导88附录张量分析概要92矢量和张量的记法92张量代数96直角坐标变换的指标记法96张量判别准则9772第一章弹性体的内力分析1.1弹性体的受力分析弹性体是一种特殊的变形体，当卸去所受载荷后，弹性体将完全恢复成原来的形状。弹性力学是研究弹性体在力系作用下如何变形以及如何传递所受力系的科学。所谓力系是指作用于同一物体或物体系统上的一群力[1]。实践表明，力对物体的作用效应取决于力的大小、方向和作用点[1]。对于质点（系）或刚体，我们关心的是力的运动效应或外效应，而对于弹性体等变形体，我们除了

5、关心力的运动效应之外，更重要的是，我们要关心力的变形效应或内效应。正是由于这种不同，弹性体的受力分析与刚体有所不同。在刚体力学中，为了便于了解力系的总效应，常常采用一个简单的与之等效的力系进行替换。对于复杂的一般力系，我们可以将其向任意一点O简化，得到一个力FR（称为主矢）和一个力偶MO（称为主矩）。由于刚体的特殊性，这种等效是可以实现的。为此，力系的简化也成了刚体力学中的一项重要内容。根据主矢FR和主矩MO的结果，我们可以判断给定力系的最简单形式，如下表1.1所示。表1.1一般力系的简化的最简单形式[1]FR（主矢）MO（主矩）F

6、R·MO力系最简单形式=0=0=0平衡=0≠0=0合力偶≠0=0=0合力≠0≠0=0合力≠0≠0≠0力螺旋对于变形体，由于我们主要关心的是力的变形效应，而力的变形效应与力的三要素（即大小、方向与作用点）均密切相关，因此在变形体力学中，除了一些近似计算的情况，我们通常不能对给定的力系进行简化。但是，为了便于建立合适的数学模型，我们需要将微观上并不连续的变形体假设为连续体，从而我们可以将变形体描述为表面封闭的几何区域。这一假设对变形体力学来说是根本性的，解除连续性假设，将会引起整个思维体系和数学手段的根本改变[2]。另外，连续性假设也对

7、变形体的受力分析产生重大影响。基于连续性假设，我们为此可以将作用在物体上的力处理成两种不同形式的分布力，分别为体力和面力。所谓体力是指分布在物体体积内的力，常见的可以处理成体力的作用力有万有引力、惯性力和磁力等。体力可以用一个分布在体积上的定位矢量函数表示。对任意点，可以取包含该点的体积，假设作用在该体积上的合力为，则点P上的体力矢量为72反之，如果已知体积V上的体力分布为，在该体积上所受体力的合力为相应地，所谓面力是指分布在物体表面上的力，常见的可以处理成面力的作用力有接触力、流体对容器的压力等。面力可以用一个分布在面积上的定位矢

8、量函数表示。对任意点，可以取包含该点的面积，假设作用在该面积上的合力为，则点P上的面力矢量为反之，如果已知面积S上的面力分布为，在该面积上所受面力的合力为例1：试给出图1所示重力作用下简支梁的体力分布函数。yzxo图1重力作用下的简支