(江苏专用)2020版高考数学总复习第六章第三节等比数列及其前n项和课件苏教版.pptx

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1、第三节等比数列及其前n项和1.等比数列的概念2.等比数列的通项公式3.等比中项4.等比数列的前n项和公式教材研读5.等比数列的性质考点一等比数列的基本运算考点二等比数列的判定与证明考点突破考点三等比数列的性质及应用1.等比数列的概念(1)文字语言:如果一个数列从第①二项起,每一项与它的前一项的比都等于②同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.(2)符号语言:=q(n∈N*,an≠0,q≠0).教材研读2.等比数列的通项公式设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则第n项an=③a1qn-1.3.等比中项若a,G,b成等比数列,则G

2、叫做a和b的等比中项,且G=④±.4.等比数列的前n项和公式设等比数列{an}的公比为q,则其前n项和Sn=5.等比数列的性质(1)an=am⑦qn-m(n,m∈N*).(2)等比数列{an}中,对任意的m、n、p、q∈N*,若m+n=p+q,则⑧aman=apaq.特殊地,若m+n=2p,则aman=⑨.(3)等比数列{an}中依次每m项的和仍成等比数列,即Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、…仍成等比数列,其公比为qm(q≠-1).设Sn为等比数列{an}的前n项和.(1)an+m=anqm=amqn(m,n∈N*).(2)a1a

3、2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,……成等比数列(m∈N*).(3)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则=q.知识拓展与等比数列相关的结论(5)若三个数成等比数列,则通常设为,x,xq.(4){an},{bn}是等比数列,则{λan},,{anbn},也是等比数列(λ≠0,n∈N*).1.(教材习题改编)已知两个数k+9和6-k的等比中项是2k,则k=.答案3或-解析由已知得(2k)2=(k+9)(6-k),解得k=3或-.2.(教材习题改编)设{an

4、}是等比数列,有下列四个命题:(1){}是等比数列;(2){anan+1}是等比数列;(3)是等比数列;(4){lg

5、an

6、}是等比数列.其中正确命题的个数是.答案3解析设等比数列{an}的公比为q,则{}和{anan+1}都是公比为q2的等比数列,(1)(2)正确;是公比为的等比数列,(3)正确;{lg

7、an

8、}是等差数列,(4)错误.3.(教材习题改编)等比数列{an}中,a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8,则a4=.答案8或解析由{an}是等比数列,得a1a2a3==8,a2=2,则解得a1=-1,a3=-4或a1=-4,

9、a3=-1,则a4=8或.4.(2018江苏溧水中学月考)已知等比数列{an}的各项都为正数,它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{an}的通项公式为.答案an=3n-1解析由题意得(a+1)2=2a+5,a+1>0,解得a=2(舍负),则等比数列{an}的公比是3,首项是1,则an=3n-1.5.(2018南京高三模拟)若等比数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,且a1=1,S6=3S3,则a7的值为.答案4解析由S6=3S3得等比数列{an}的公比q≠1,则=,化简得1-q6=3(1-q3),解得q3=2,又a1=1,所

10、以a7=a1q6=4.考点一等比数列的基本运算典例1(1)(2018江苏三校高三联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S1+S2+S3=10,S2+S3+S4=15,则公比q=.(2)(2018扬州高三调研)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a3=2,S12=4S6,则a9的值为.考点突破答案(1)1 (2)2或6解析(1)当q=1时,S1+S2+S3=6a1=10,a1=,S2+S3+S4=9a1=15,符合题意;当q≠1时,S1+S2+S3=(3-q-q2-q3)=10,S2+S3+S4=(3-q2-q3-q4)

11、=15,无解,故q=1.(2)由S12=4S6得等比数列的公比q≠1,则=,化简得1-q12=4(1-q6),解得q6=1或q6=3,即q=-1或q=±,又a3=2,所以a9=a3q6=2或6.方法技巧解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题便可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,数列{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,数列{an}的前n项和Sn==.易错警

12、示本例题(2)容易漏解,判断出q≠1后从“1-q12=4(1-q6)”的两边同时约去1-q6导致遗漏q=-1的情况,所以在约分时要慎重.1-1(2018江苏无锡普通高中期末)等比数列{an}中,若a2=1,a5=8,则a

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