高考数学集合总复习-等比数列以及其前n项和.docx

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1、等比数列及其前n项和答案自主梳理1．公比　q　2.a1·qn－1　4.(1)qn－m　(2)ak·al＝am·an(4)递增　递减　常　摆动　6.qn自我检测1．D　2.B　3.B　4.C　5.－9课堂活动区例1　解题导引　(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；(2)本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．解　

2、方法一　由已知得：①－②，得4aq6＝64，∴aq6＝16.③代入①，得＋2×16＋16q2＝100.解得q2＝4或q2＝.又数列{an}为正项数列，∴q＝2或.当q＝2时，可得a1＝，∴an＝×2n－1＝2n－2，Sn＝＝2n－1－；当q＝时，可得a1＝32.∴an＝32×n－1＝26－n.Sn＝＝64－26－n.方法二　∵a1a5＝a2a4＝a，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a，由可得即∴解得或当a3＝8，a5＝2时，q2＝＝＝.∵q>0，∴q＝，由a3＝a1q2＝8，得a1＝32，∴an＝32×n－1＝26－n.Sn＝

3、＝64－26－n.当a3＝2，a5＝8时，q2＝＝4，且q>0，∴q＝2.由a3＝a1q2，得a1＝＝.∴an＝×2n－1＝2n－2.Sn＝＝2n－1－.变式迁移1　解　由题意得解得或若则Sn＝＝＝126，解得q＝，此时，an＝2＝64·n－1，∴n＝6.若则Sn＝＝126，∴q＝2.∴an＝64＝2·2n－1.∴n＝6.综上n＝6，q＝2或.例2　解题导引　(1)证明数列是等比数列的两个基本方法：①＝q(q为与n值无关的常数)(n∈N*)．②a＝anan＋2(an≠0，n∈N*)．(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项

4、不成等比数列来证明，也可用反证法．(1)证明　由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2(an＋1)，当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，所以a2＋a1＝2a1＋6，又a1＝5，所以a2＝11，从而a2＋1＝2(a1＋1)，故总有an＋1＋1＝2(an＋1)，n∈N*，又a1＝5，a1＋1≠0，从而＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．(2)解　由(1)得an＋1＝6·2n－1，所以a

5、n＝6·2n－1－1，于是Sn＝－n＝6·2n－n－6.变式迁移2　(1)解　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2)证明　∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－

6、1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．例3　解题导引　在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．解　由已知得＋＋＋＋＝＋＋＝＝＝2，∴a＝4，∴a3＝±2.若a3＝－2，设数列的公比为q，则＋－2－2q－2q2

7、＝8，即＋＋1＋q＋q2＝2＋2＋＝－4.此式显然不成立，经验证，a3＝2符合题意，故a3＝2.变式迁移3　解　(1)∵a3a11＝a＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.(2)a1a2a3a4＝a1·a1q·a1q2·a1q3＝aq6＝1.①a13a14a15a16＝a1q12·a1q13·a1q14·a1q15＝a·q54＝8.②②÷①：＝q48＝8⇒q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40·a1q41·a1q42·a1q43＝a·q166＝a·q6·q160＝(a

8、·q6)·(q16)10＝1·210＝1024.课后练习区1．B　[∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{an}的公比为q，则q>0，且a＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，即