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1、平面向量的数量积及平面向量的应用举例教材回扣夯实双基重点难点重点：平面向量的数量积及其几何意义，数量积的性质及运算律，数量积的坐标表示，以及平面向量数量积的应用．难点：平面向量数量积的应用及向量与其他知识的综合．基础梳理1．向量数量积的定义(1)a与b的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量
2、a
3、·
4、b
5、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0.当θ为锐角时，如图甲，它是正值；当θ为钝角时，如图乙，它是负值；当θ为直角时，如图丙，它是0；当θ为0°时，它是
6、b
7、；当θ为180°时，它是－
8、b
9、.(4)平面向量数
10、量积的几何意义数量积a·b等于a的长度
11、a
12、与b在a方向上的投影
13、b
14、cosθ的_______．2．平面向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b＝0.乘积3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝_________.a·c＋b·c课前热身1．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0答案：D答案：B答案：D5．已知向量a，b满足
15、b
16、＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影是________．答案：1考点1平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算
17、有两种形式：一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算．具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择．考点探究讲练互动考点突破例1(1)在等边三角形ABC中，D为AB的中点，(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)·(2a＋3b)和
18、a＋2b
19、.【思路分析】(1)作出三角形，找出向量夹角，利用数量积公式求解．(2)写出向量坐标，代入公式求解．【规律小结】向量的数量积的运算结果是一个数量,平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法．我们遇到求向量的模时，可先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．互动探究若本例(1)中将等边三角形改为等腰直角三角形，∠C＝90°，又将
20、如何求解？考点2平面向量的夹角(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及
21、a
22、，
23、b
24、或得出它们的关系．(2)若已知a与b的坐标，则可直接利用公式例2(2012·广州调研)已知
25、a
26、＝1，【规律小结】求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角是钝角．考点3两向量的平行与垂直关系向量的平行、垂直都是两向量关系中的特殊情况，判断两向量垂直可以借助数量积公式．如果已知两向量平行或垂直可以根据公式列方程(组)求解例3已知
27、a
28、
29、＝4，
30、b
31、＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算
32、a＋b
33、，
34、4a－2b
35、；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?【方法总结】(1)非零向量a·b＝0⇔a⊥b是非常重要的性质,它对于解决平面几何图形中有关的垂直问题十分有效,应熟练掌握(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)考点4向量的综合应用如图，例4【误区警示】(1)向量的夹角不等于两线段的夹角．(2)定义法求解解析几何问题可大大减少计算量．方法技巧1．数量积a·b中间的符号“·”不能省略，也不能用“×”来替
36、代．2．要熟练类似(λa＋μb)·(sa＋tb)＝λsa2＋(λt＋μs)a·b＋μtb2的运算律(λ、μ、s、t∈R)．方法感悟3．求向量模的常用方法：利用公式
37、a
38、2＝a2，将模的运算转化为向量数量积的运算．失误防范2．若a·b＝0，a≠0不一定有b＝0，因为当a⊥b时，总有a·b＝0.3．对于实数a、b、c，当b≠0时，若ab＝bc，则a＝c.但对于向量a，b，c，当b≠0时，由a·b＝b·c却推不出a＝c.因为由a·b＝b·c得b·(a－c)＝0，只要a－c与b垂直即可．4．一般地，(a·b)c≠(b·c)a，即乘法的结合律不成立．因a·b是一个数量，所以(a·b
39、)c表示一个与c共线的向量，同理右边(b·c)a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线，故一般情况下(a·b)c≠(b·c)a.命题预测通过对近几年广东高考试题的分析，向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具考向瞭望把脉高考在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容．预测2013年广东高考仍将以向量的数量积的运算、向量的平行、垂直为主要
