02-磁场的积分方程.pdf

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1、1、矢量格林定理在区域Ω及其边界Γ上，设有P和Q两个矢量函数，散度展开计算得∇()P×∇×Q=∇×PQP∇×−∇×∇×Q两边做区域积分，有∫∫∫∇(P×∇×Q)dΩ=∫∫∫[∇×PQP∇×−∇×∇×Q]dΩΩΩ根据散度定理，得[∇×P∇×−QP∇×∇×Q]dΩ=(P×∇×Qe)dΓ∫∫∫∫∫nΩΓ上式称为矢量格林第一恒等式。P和Q交换顺序有[∇×Q∇×−PQ∇×∇×P]dΩ=(Q×∇×Pe)dΓ∫∫∫∫∫nΩΓ将两个矢量格林第一恒等式相减，有[Q∇×∇×−PP∇×∇×Q]dΩ=(P×∇×−×∇×QQPe)d

2、Γ∫∫∫∫∫nΩΓ上式称为矢量格林定理。2、恒定磁场基本方程恒定磁场方程∇×∇×AJ=µ0库仑规范∇=A0矢量格林定理中的P，用来表示矢量磁位A。3、矢量格林函数选一个矢量格林函数形式为µ0Ga=4πR矢量格林定理中的Q，用来表示矢量格林函数。µ0R是源点到场点的距离，a是任意常矢量。将G看做标量和矢量a相乘，有4πRµµaµµ0000∇×G=∇×=∇×+∇aaa×=∇×44ππRR4πR4πR矢量恒等式2∇×∇×GGG=∇∇−∇2在源点与场点不重合情况下，−∇G=0，因此2∇×∇×GGGG=∇∇−∇=∇∇而µaµµµ0000∇=

3、∇G=∇a+∇=∇aa4πR44ππRR4πR所以µ0∇×∇×Ga=∇()∇4πR4、矢量格林定理应用（1）格林定理等式左侧积分的第二项被积函数µ0−∇×∇×PQA=−∇×∇×GAa=−∇()∇4πR由矢量恒等式（运算规则）得µµµ000∇∇[()aAAa]()=∇∇+∇()a∇A4πR44ππRR将库仑规范∇=A0代入，等式左右互换，有µµ00Aa∇∇()=∇∇[()aA]44ππRR代入式µ0−∇×∇×AGaA=−∇[(∇)]4πR这一项变成了一个散度。（2）格林定理等式左侧积分矢量格林定

4、理左侧被积函数代入，得11aµ10∫∫∫[G∇×∇×−AA∇×∇×G]dΩ=∫∫∫[J−∇[(a∇)]dAΩµµ44ππRRΩΩ00进一步，应用散度定理，把散度的体积分变成闭合面积分aµ10[G∇×∇×−AA∇×∇×G]dΩ=[JdV−[(a∇)AedΓ∫∫∫∫∫∫∫∫n44ππRRΩΓV把任一常矢量a提到积分之外，得µJ10[G•∇×∇×−•∇×∇×AAG]dΩ=•a[dΩ−•a[(∇)(Ae•)dΓ∫∫∫∫∫∫∫∫n44ππRRΩΩΓ（3）格林定理右侧被积函数第一项被积函数，将∇×G代入11(A×∇×GeA)•=

5、[×∇(×ae)]•nnµπ4R0利用矢量恒等式abcbcacab•×=•×=•×()()()得111[A×∇ו=()ae]()∇ו×aeA()nnµπ44RRπ0再利用abcbcacab•×=•×=•×()()()11eA×µn0[A×(∇ו=ae)](∇ו×=aeAa)()•[()×∇]nn44πRRπµπ4R0第二项被积函数1a−(G×∇×Ae)•=∇×[(A)×]•ennµπ4R0还是利用abcbcacab•×=•×=•×()()()1aAµµ∇×00−(G×∇×Ae)•=∇×[(A)×]•ea=•[(e×)]=•a[eH×

6、]nnnnµ44πRRπµπ4R00（4）格林定理代入结果两侧全部代入，得µµJeA00naa∫∫∫dΩ−∫∫[∇()]dΓ44πRRπµΩΓ0eA×µµn00=a[()×∇]dΓ+a[(eH×)]dΓ∫∫∫∫nµπ44RRπΓΓ0a是任意常矢量，可以约掉。得µJµeAeA×µµ00nn00dΩ=[∇()]dΓ+[()×∇]dΓ+[(eH×)]dΓ∫∫∫∫∫∫∫∫∫n44πRRπµµ44πRRπΩΓ00ΓΓ5、矢量磁位的积分公式除去奇点，以场点为球心，周围挖掉小球体，边界积分中增加小球面上积分，小球面上有三项积分µµ

7、µ000[∇(eA•)]dΓ+[(eA×)×∇]dΓ+[(eH×)]dΓ∫∫nn∫∫∫∫n4πR44ππRRΓΓPPΓPeeµRR0=[(eA•)]dΓ+[(eA×)×]dΓ+[(eH×)]dΓ∫∫22nn∫∫∫∫n4πR44ππRRΓΓPPΓP球面上R是常数，e是源点指向场点的单位矢量，与e相同。场点固定，源点Rn变化。小球面的积分为eeµRR0[(eA•)]dΓ+[(eA×)×]dΓ+[(eH×)]dΓ∫∫22nn∫∫∫∫n4πR44ππRRΓΓPPΓP111=[eeA(•−)]dS[eeA××Γ()]d+[(eB×Γ

8、)]d22∫∫Rn∫∫Rn∫∫n444πππRRRΓΓΓPPP利用公式abc××=•−•()()()bcacab第二项积分中e××=()()()eAee•−•AAeeRnn