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1、CHAPTER3THEDERIVATIVE微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton2.1TwoProblemswithOneThemeTangentLines&SecantLinesTheslopeofasecantlinebetween2pointsonacurveisthechangeiny-valuesdividedbythechangeinx-values.Sinceatangentlinetouchesonlyonepointonthecurve,howdowefindthe
2、slopeoftheline?Weconsidertheslopeof2pointsthatareINFINITELYclosetogetheratthepointoftangency…thusalimit!AverageVelocity&InstantaneousVelocitySimilartoslopeofasecantline,tofindaveragevelocity,wefindthechangeindistancedividedbythechangeintimebetween2pointsonatimeinterval.Tofindinstantaneousv
3、elocity,wefindthedifferenceindistanceandtimebetweentwopointsintimethatareINIFINITELYclosetogether…again,alimit!TangentLineSlopeatx=c&InstantaneousVelocityatt=caredefinedtheSAME一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动机动目录上页下页返回结束Afallingbody’svelocityisdefined.Findtheinstantaneo
4、usvelocityatt=1seconds.2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率机动目录上页下页返回结束两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题机动目录上页下页返回结束RestofChange:3.2TheDerivativeThederivativeoff(x)isdesignatedasf’(x)orf’ory’
5、.3.2TheDerivative思考与练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数机动目录上页下页返回结束二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.机动目录上页下页返回结束运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率机动目录上页下页返回结束若上述极限不存在,在点不可导.若也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:就说函数就称函数在I内可导.的导数为无穷大.机动目录上页下页返回结束3.6LeibnizNotationD
6、ifferentiabilityimpliescontinuity.Ifthegraphofafunctionhasatangentatpointc,thenthereisno“jump”onthegraphatthatpoint,thusiscontinuousthere.函数的可导性与连续性的关系定理.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即机动目录上页下页返回结束2.设存在,则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解:由题设由夹逼准则故在可导,且机动目录上页下页返回结束2.3Rules
7、forFindingDerivatives常数和基本初等函数的导数机动目录上页下页返回结束例.求椭圆在点处的切线方程.解:椭圆方程两边对x求导故切线方程为即机动目录上页下页返回结束四则运算求导法则定理.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.机动目录上页下页返回结束此法则可推广到任意有限项的情形.证:设,则故结论成立.机动目录上页下页返回结束例如,(2)证:设则有故结论成立.推论:机动目录上页下页返回结束(C为常数)(3)证:设则有故结论成立.推论:机动
