石大概率2-5.ppt

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1、课前复习注1)分布密度f(x,y)的性质：1.二维连续型r.v及其分布密度注2)f(x,y)与F(x,y)相互决定。注3）设G为一平面区域，则1）区域G上服从二维均匀分布。2.两种常见的二维连续型随机向量的分布：2）二维正态分布3.边缘分布1）2）离散型3）连续型（二维正态情形）若则；但反之不成立。由此知在条件下随机变量X的条件分布律：4、条件分布在条件下随机变量Y的条件分布律：二维离散型随机变量情形在Y=y条件下随机变量X的条件分布密度：在Y=y条件下随机变量X的条件分布函数：二维连续型随机变量情形注：条件分布密度的自变量是x，而不是y（但函数值受到y的影响）。例1设(

2、X,Y)在圆域上服从均匀分布，求(X,Y)的密度函数和边缘密度函数。解：由题意知，(X,Y)的联合分布密度为其边缘分布密度例1设(X,Y)在圆域上服从均匀分布，求(X,Y)的密度函数和边缘密度函数。本例表明：均匀分布的边缘分布不一定是一维均匀分布。解：易知区域G的面积为1，故(X，Y)的分布密度为边缘分布密度分别为例1设(X,Y)在G上服从均匀分布,G由x-y=0,x+y=2与y=0围成，求边缘分布密度。（2011年考研题）故例1设(X,Y)在G上服从均匀分布,G由x-y=0,x+y=2与y=0围成，求边缘分布密度。（2011年考研题）思考：.例2设X在区间(0,1)上随

3、机取值,当观察到X=x(0

4、一次，第二次取到正面的次数，则易知随机变量X与Y取值是互不影响的。定义设、、分别是(X,Y)的分布函数及其边缘分布函数。如果对任意的，恒有即则称随机变量X与Y是相互独立的。结论1当(X,Y)是离散型随机向量时，随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是对一切i,j,都有：即设(X,Y)的联合分布律和边缘分布律为：注意掌握如何由联合分布律来判断独立性。X和Y独立结论2当(X,Y)是连续型随机向量时，随机变量X与Y相互独立的充分必要条件是对一切x,y,都有：相互独立的概念也可推广到n个随机变量的场合。解：(X,Y)的分布律及边缘分布律为例.掷两次硬币，以X,Y分别记第一次，第二次

5、取到正面的次数，问随机变量X与Y是否相互独立？由于对一切i,j都有所以X与Y独立。解：(X,Y)的分布律及边缘分布律为例1袋中装有三个小球，分别标上号码1，2，2，从中任取一球并不再放回，然后再从袋中取出一球，以X,Y分别记第一次，第二次取到的球上的号码，问随机变量X与Y是否相互独立？由于，所以X与Y不相互独立。例2设的分布密度为问X，Y是否相互独立？解：边缘分布密度为由于，故X与Y相互独立。解(X，Y)的分布密度为边缘分布密度分别为例3设G为抛物线与所围的平面区域，（X，Y）在G上服从均匀分布，问X，Y是否独立？故X,Y不独立。结论若(X，Y)的分布密度为其中A为常数，

6、a,b,c,d或为常数，或为∞,则X，Y相互独立.证明略，由此结论立即知：则X，Y相互独立.则X，Y不独立.证由前知证明（二维正态情形）.若则X与Y相互独立若X与Y相互独立，则对一切x,y都有即反过来，若故X与Y相互独立，从而结论得证。例4设(X,Y)服从二维正态分布，求概率解由知再由第6节随机变量函数的分布在实际问题中，我们常对某些随机变量的函数感兴趣。这一节中，我们主要讨论的主要问题是：设随机变量X的分布已知，要求它的函数的分布。设离散型r.v.X的分布律如下，求的分布律。一.离散型随机变量情形注此时Y一定也是离散型随机变量，其分布可按两种情形考虑。解：令，则其分布律

7、为例1.已知X的分布律如下，求2X+1的分布律。情形1）函数y=g(x)是1—1对应。一般地，在1—1对应情形，的分布律为解：令，则其分布律为情形2）函数y=g(x)是多—1对应。例2.已知X的分布律求的分布律。注：如果某些有相同的数值，则这些相同的值在分布律中只出现一次，其概率为这些相同值所对应的概率的和。例3已知X的分布律为求的分布律。解由于当当当故得Y的分布律为方法1）：定义法第一步：先用定义求随机变量的分布函数二.已知X为连续型随机变量，求的分布（密度）第二步：再求的分布密度。例1设随机变量X具有概率密度求的分布密度。