资源描述:
《矩阵的酉相似.pdf》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第II章矩阵的酉(正交)相似第II章矩阵的酉(正交)相似2.1内积空间与正交矩阵2.1.1内积空间2.1.2正交矩阵2.2酉空间与酉矩阵2.2.1酉空间2.2.2酉矩阵2.2.3正交矩阵实标准形2.3矩阵的酉(正交)相似2.3.1schur引理2.3.2正规矩阵2.3.3正规矩阵的正交谱分解2.3.4半正定轭米特矩阵2.4对称矩阵与二次形2.4.1二次齐式的主轴2.4.2二次曲面的度量分类2.4.3二次曲面的仿射分类2.4.4二次曲面的射影分类II-1第II章矩阵的酉(正交)相似2.1内积空间与正交矩阵2.1.1内
2、积空间定义2.1.1设V是实数域R上的线性空间,V上的内积是满足下述性质的实值函数<⋅,⋅>:V×V→R:(a):对称性:=(b):线性性质:=s+u(c):非负性:,≥0并且=0⇔x=0若在n维线性空间上定义了一个内积,则称这个空间为内积空间。由(a)和(b),内积关于第二变元也是线性的。内积空间中有向量的长度、向量间的夹角与正交性等概念:长度(模或范数):
3、
4、x
5、
6、=2距离:d(x,y)=
7、
8、x−y
9、
10、2Cauchy不等式:
11、2≤⋅22夹角:cosθ=xy⋅正交:x⊥y⇔=01,i=j正交基,标准正交基:{u1,...,un},<ui,uj>=δij=0,i≠jFourier展开式:∀x∈V,x=u+...+u11nnBessel’s等式:222∀x∈V,
12、
13、x
14、
15、=+...+21nParseval’s等式:∀x,y∈V,=+...+11nnSchmidt正交化:B={v1
16、,v2,...}是线性无关的向量组,定义:k−1kju=v,u=v−∑u,k=2,3,...11kkjj=1jj则O={u,u,...}是正交向量组,并且有12span{u,u,...,u}=span{v,v,...,v},∀k12k12knn欧氏空间R在R中的(标准)内积定义为:nT=yx=∑xyiii=1n以后,在没有特别说明的情况下,我们所讨论的欧氏空间是指由上式所定义的内积空间R。II-2第II章矩阵的酉(正交)相似2.1.2正交矩阵T-1T定义2.1.2如果实方阵Q满足QQ=
17、I(或等价地Q=Q),则称Q为正交矩阵。正交矩阵具有下述性质:1、Q为正交矩阵⇔任意两个列向量是单正交的;2、Q为正交矩阵⇔任意两个行向量是单位正交的;3、Q为正交矩阵⇔保持向量的内积不变,即n,∀x,y∈R=;4、Q为正交矩阵⇔保持向量间的距离不变;5、任多个正交矩阵的积是正交的。6、正交矩阵的行列式等于±1;如果正交矩阵的行列式等于1,则称是正常的正交阵(旋转),否则称为非正常正交阵(反射)。正交矩阵的几何意义2阶正交矩阵ab令A=是正交阵,则cd22222222a+b=
18、1=c+d,a+c=1=b+d,ac+bd=0=ab+cd从22知,存在角a+b=1θ,使得a=cosθ,b=±sinθ。如果b=sinθ,令θ′=−θ,则有a=cosθ′,b=−sinθ′。总之我们可选取一个角θ使得a=cosθ,b=−sinθ(2.1.1)再利用22a+c=1,得c=±sinθ。最后,由ac+bd=0,得到d=±cosθ(sinθ≠0)。这说明,当sinθ≠0时,c=sinθ,d=cosθc=−sinθ,d=−cosθ所以,当sinθ≠0时,A仅有下述两种类型:cosθ−sinθcosθ−
19、sinθ,(2.1.2)sinθcosθ−sinθ−cosθθ为参数。至于sinθ=0时,A必为下述四种情况之一:10−1010−10,,,010−10−101前两种情况,可归为(2.1.2)中的第一个矩阵(θ=0,Pi);后两种情况可归为(2.1.2)中的第二II-3第II章矩阵的酉(正交)相似个矩阵(θ=0,Pi)。总之,2阶正交阵可以表示为(2.1.2)的形状。x′cosθ−sinθx变换=的几何
20、意义:是平面上绕原点旋转θ角把点P变到P’的旋转变换。y′sinθcosθy此时,detA=1,是正常的正交矩阵。x′cosθ−sinθx变换=的几何意义:这个变换可以看作下述两个变换的复合:y′−sinθ−cosθyscosθ−sinθxx′10s=