矩阵的酉相似.pdf

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1、第II章矩阵的酉（正交）相似第II章矩阵的酉（正交）相似2.1内积空间与正交矩阵2.1.1内积空间2.1.2正交矩阵2.2酉空间与酉矩阵2.2.1酉空间2.2.2酉矩阵2.2.3正交矩阵实标准形2.3矩阵的酉（正交）相似2.3.1schur引理2.3.2正规矩阵2.3.3正规矩阵的正交谱分解2.3.4半正定轭米特矩阵2.4对称矩阵与二次形2.4.1二次齐式的主轴2.4.2二次曲面的度量分类2.4.3二次曲面的仿射分类2.4.4二次曲面的射影分类II-1第II章矩阵的酉（正交）相似2．1内积空间与正交矩阵2.1.1内

2、积空间定义2.1.1设V是实数域R上的线性空间，V上的内积是满足下述性质的实值函数<⋅,⋅>:V×V→R：（a）：对称性：=（b）：线性性质：=s+u（c）：非负性：，≥0并且=0⇔x=0若在n维线性空间上定义了一个内积，则称这个空间为内积空间。由（a）和（b），内积关于第二变元也是线性的。内积空间中有向量的长度、向量间的夹角与正交性等概念：长度（模或范数）：

3、

4、x

5、

6、=2距离：d(x,y)=

7、

8、x−y

9、

10、2Cauchy不等式：

11、2≤⋅22夹角：cosθ=xy⋅正交：x⊥y⇔=01,i=j正交基，标准正交基：{u1,...,un}，＜ui,uj>=δij=0,i≠jFourier展开式:∀x∈V,x=u+...+u11nnBessel’s等式：222∀x∈V,

12、

13、x

14、

15、=+...+21nParseval’s等式：∀x,y∈V,=+...+11nnSchmidt正交化：B={v1

16、,v2,...}是线性无关的向量组，定义：k−1kju=v,u=v−∑u,k=2,3,...11kkjj=1jj则O={u,u,...}是正交向量组，并且有12span{u,u,...,u}=span{v,v,...,v},∀k12k12knn欧氏空间R在R中的（标准）内积定义为：nT=yx=∑xyiii=1n以后，在没有特别说明的情况下，我们所讨论的欧氏空间是指由上式所定义的内积空间R。II-2第II章矩阵的酉（正交）相似2.1.2正交矩阵T-1T定义2.1.2如果实方阵Q满足QQ=

17、I（或等价地Q=Q），则称Q为正交矩阵。正交矩阵具有下述性质：1、Q为正交矩阵⇔任意两个列向量是单正交的；2、Q为正交矩阵⇔任意两个行向量是单位正交的；3、Q为正交矩阵⇔保持向量的内积不变，即n，∀x,y∈R=；4、Q为正交矩阵⇔保持向量间的距离不变；5、任多个正交矩阵的积是正交的。6、正交矩阵的行列式等于±1；如果正交矩阵的行列式等于1，则称是正常的正交阵（旋转），否则称为非正常正交阵（反射）。正交矩阵的几何意义2阶正交矩阵ab令A=是正交阵，则cd22222222a+b=

18、1=c+d，a+c=1=b+d，ac+bd=0=ab+cd从22知，存在角a+b=1θ，使得a=cosθ,b=±sinθ。如果b=sinθ，令θ′=−θ，则有a=cosθ′,b=−sinθ′。总之我们可选取一个角θ使得a=cosθ,b=−sinθ（2.1.1）再利用22a+c=1，得c=±sinθ。最后，由ac+bd=0，得到d=±cosθ（sinθ≠0）。这说明，当sinθ≠0时，c=sinθ，d=cosθc=−sinθ，d=−cosθ所以，当sinθ≠0时，A仅有下述两种类型：cosθ−sinθcosθ−

19、sinθ，（2.1.2）sinθcosθ−sinθ−cosθθ为参数。至于sinθ=0时，A必为下述四种情况之一：10−1010−10，，，010−10−101前两种情况，可归为（2.1.2）中的第一个矩阵（θ=0，Pi）；后两种情况可归为（2.1.2）中的第二II-3第II章矩阵的酉（正交）相似个矩阵（θ=0，Pi）。总之，2阶正交阵可以表示为（2.1.2）的形状。x′cosθ−sinθx变换=的几何

20、意义：是平面上绕原点旋转θ角把点P变到P’的旋转变换。y′sinθcosθy此时，detA=1，是正常的正交矩阵。x′cosθ−sinθx变换=的几何意义：这个变换可以看作下述两个变换的复合：y′−sinθ−cosθyscosθ−sinθxx′10s=