高等代数_矩阵的相抵合同相似.pdf

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1、莆田学院数学系“高等代数选讲”课程论文题目：矩阵的相抵、合同、相似一些关于这三种等价关系的联系、差别和不变量姓名：阮超英学号：21041132数学系2002级本科（1）班2005年6月23日矩阵的相抵、合同、相似一些关于这三种等价关系的联系、差别和不变量[摘要]矩阵的相抵、合同、相似这三种等价关系之间既包含着联系，又蕴涵着差别，以及矩阵在各自关系下的不变量。[关键词]相抵；合同；相似；等价关系；不变量1首先介绍矩阵的相抵、合同及相似概念的引入及其定义以及等价关系的证明。1.1矩阵相抵矩阵的相抵是在矩阵的初等变换的基础

2、上引入的，故先了解一下初等变换下的初等矩阵。定义1[1]由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。显然，初等矩阵是方阵，每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵。○1互换矩阵E的i行与j行的位置11011pij(,)11011○2把矩阵的i行乘以一非零数c（c为数域p中数）11pic(())c11○3把矩阵E的j行的k倍加到i行，有11kpijk(,())1

3、1同样可以得到与列变换相应的初等矩阵，不难看出，初等矩阵是可逆的，且逆矩阵还是初等矩阵。定义2矩阵A与B相抵（equivalent记为AB~或称为等价）是指对A进行行和列的有限次的初等变换后可得到B，亦即存在初等矩阵P,,,PQ,,Q,使得PPAQQB11stst11显然，矩阵的相抵是一种等价关系，它满足＜1＞对称性若A与B相抵,则B与A相抵；因为由定义2，有：PPAQQB，st11111这样可得到：APPBQ1st＜2＞反身性若A和A本身相抵；1111因为：QQQQAPPPPAtt11

4、11ss＜3＞传递性若A和B相抵，B和C相抵，则A和C相抵。PPAQQBst11由于：GGBRRCuv11故：（GGPPAQ)(QR)RCu1s11t1v[3]而矩阵相抵的一个重要方面就是矩阵的相抵。设A()(a())为mn阶矩阵,即aF[]为不定元ijij的多项式，以下三种变换称为对A（）的“初等行变换”：1．交换矩阵的两行；*2．把矩阵的某行乘以一非零数cF；3．把矩阵的一行乘以一多项式g（）加到另一行上去。类似可以定义列的初等变换。[4]定义3若A()，B()都是矩阵且

5、A()经过初等变换后可变为B()，则称矩阵A()与B()相抵。与数字矩阵一样，矩阵的相抵关系是一种等价关系。即<1>A()与自身相抵;<2>若A()与B()相抵,则B()与A()相抵;<3>若A()与B()相抵,B()与A()相抵,则A()与B()相抵。矩阵的合同经过一个非退化的线性替换,二次型还是变成二次型.但是,替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系,即找出替换后的二次型[1]的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系。设：fxx(,,,x)XAXA',A'〈1〉12n是一个二

6、次型，作非退化线性替换XCY〈2〉我们得到一个yy,,y的二次型12n现在来看矩阵B与A的关系把〈2〉带入〈1〉，有'''''''fxx(,,,x)XAX(CYACY)()YCACYYCACY()YBY12n'''''''''易看出矩阵CAC也是对称的，事实上()CACCACCAC'由此，即得BCAC这就是前后两个二次型的矩阵的关系，与之相应，我们引入[1]定义4数域P上nn矩阵AB,成为合同的，如果有数域上可逆'的nn矩阵C，使BCAC。合同是矩阵之间的一个关系，不难看出合同关系具有'<1>

7、反身性AEAE;'1'1<2>对称性由BCAC即得A(C)BC;''<3>传递性ACAC'和ACAC即得A(CC)(ACC)111221221212因之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的。1.3矩阵的相似引入：定理1设线性空间V中线性变换A在两组基',,,〈3〉12n',,〈4〉12n''下的矩阵分别为AB和,从基〈3〉到〈4〉的过渡矩阵是X，于是1BXAX.证明：已知(A,A,A)(,,),A12nn12(A

8、,A,A)(,,),B12nn12于是(A,A,A)A(,,AX)[(,,)]12nn1212n[(,,A,)]X(A,A,A)X12nn121(,,)AX(,,)XAX12nn121由此即得BXAX.由此我们引进相似的定义[1]定义5设A，B为数域P上两个n级方阵，如果可