§2.1解析函数的概念.ppt

《§2.1解析函数的概念.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第二章解析函数2.1解析函数的概念2.2解析函数和调和函数的关系2.3初等函数本章小结思考题2.1解析函数的概念一、复变函数的导数二、解析函数的概念与求导法则三、解析函数的一个充分必要条件1复变函数的导数定义：存在,则就说f(z)在z0可导,此极限值就称为f(z)在z0的导数，记作应该注意：上述定义中的方式是任意的。如果f(z)在区域D内处处可导,就说f(z)在Ｄ内可导.例1求f(z)=z2的导数。[解]因为所以f'(z)=2z.复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则。（即f(z)=z2在复平面处处可导。）例2问f(z)=x+2yi是否可导?[解]这里所以f(z)=x

2、+2yi的导数不存在.（即f(z)=x+2yi在整个复平面处处不可导.）2.解析函数的概念函数在一点解析在该点可导。反之不一定成立。在区域内：例如f(z)=z2在整个复平面上解析；仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；f(z)=x+2yi定义否则称为奇点。解析函数的性质：(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。问题：对函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如何判别其解析（可导）性？定理1函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域

3、D内一点z=x+iy可导的充分必要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,在该点满足Cauchy-Riemann方程。定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是u(x,y)与v(x,y)在D内可微,并满足Cauchy-Riemann方程.例题1判断下列函数在何处可导,在何处解析:解：得u=x,v=-y,所以在复平面内处处不可导,处处不解析；2)由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所以当且仅当x=y=0时,因而函数仅在z=0可导,但在复平面内任何地方都不解析.例题2解：