重要曲面与曲线的投影.ppt

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1、曲面及其方程第一节定义常见的空间曲面有：球面、旋转曲面和柱面，下面我们一一对它们进行介绍。一、球面球面方程为：特别地：问题：Mathematica球面演示ParametricPlot3D[{Sin[u]Cos[v],Sin[u]Sin[v],Cos[u]},{u,0,Pi},{v,0,2Pi}]曲线CCyzo绕z轴二、旋转面的方程曲线CxCyzo绕z轴.10.旋转面的方程曲线C旋转一周得旋转曲面SCSMNzPyzo绕z轴.f(y1,z1)=0M(x,y,z)10.旋转面的方程.xS曲线C旋转一周得旋转曲面SxCSMNzP.绕z轴..f(y1,z1)=0M(x,

2、y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=010.旋转面的方程.yzoS曲线C旋转一周得旋转曲面SxCSMNzP.绕z轴..f(y1,z1)=0M(x,y,z)f(y1,z1)=0f(y1,z1)=010.旋转面的方程.yzoS旋转曲面C是一平面曲线，把C绕定轴旋转一周所构成的曲面叫做旋转曲面1.在YOZ平面上的曲线：(1)绕Z轴转得旋转曲面为：(2)绕Y轴转得旋转曲面为：旋转曲面举例例1Plot3D[x^2+y^2,{x,-3,3},{y,-3,3}]旋转曲面举例例2xzy2.在ZOX平面内曲线C：例：zxzxyxz3.在XOY平面内曲线C：同理：xyz

3、xzy0母线F(x,y)=0z=0准线(不含z)M(x,y,z)N(x,y,0)S曲面S上每一点都满足方程；曲面S外的每一点都不满足方程F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面点N满足方程，故点M满足方程三.一般柱面F(x,y)=0母线准线(不含x)F(y,z)=0x=0xzy0F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面6.一般柱面F(y,z)=0abzxyo7.椭圆柱面zxy=0yo8.双曲柱面zxyo9.抛物柱面xz三、柱面定义三种特殊柱面：例子：LlCxzyyzyxo一般柱面可通过换元法转化为特殊柱面。Mathmatica中柱面演示抛物柱面Paramet

4、ricPlot3D[{2u,2*u^2,v},{u,0,1},{v,-1,1}]第七章一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影机动目录上页下页返回结束空间曲线及其方程第二节一、一般方程空间曲线的一般方程为：Γ例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C.C机动目录上页下页返回结束又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.机动目录上页下页返回结束二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:称它为空间曲线的参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距.机动目录上页下页返回结束例1.将下列曲线化为参数方程表

5、示:解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为机动目录上页下页返回结束例：三、空间曲线在坐标平面上的投影Γzyx1.在XOY平面上：分析：三、空间曲线在坐标平面上的投影Γzyx1.在XOY平面上：分析：空间曲线在坐标平面上的投影举例例1例如,在xoy面上的投影曲线方程为机动目录上页下页返回结束又如,所围的立体在xoy面上的投影区域为:上半球面和锥面在xoy面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy面上的投影曲线所围之域.机动目录上页下页返回结束空间曲线在坐标平面上的投影举例2.在YOZ平面上：3.在XOZ平面上：同理可得如下两种投

6、影方程：四、空间区域在坐标平面上的投影例3四、空间区域在坐标平面上的投影例3空间区域在坐标平面上的投影举例例4空间区域在坐标平面上的投影举例例4内容小结空间曲线三元方程组或参数方程求投影曲线(如,圆柱螺线)机动目录上页下页返回结束思考与练习空间区域在坐标平面上的投影草图画法例3草图例4草图zyoS1S21x1zxyoS2S144二次曲面第三节将二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。平面——一次曲面；球面——二次曲面。下面我们研究标准的二次曲面：一、椭球面1.位置(1)有界性：(2)对称性：2.截痕(作图)zyxab-b-cc一、椭球面zyxab-b-cc一、椭球面1.

7、位置3.注意zyxab-b-cc(1)椭球面可以看成由一变形椭圆运动所产生的轨迹，这椭圆两对顶点分别在一对有共同顶点的两个正交椭圆ΓXY、ΓYZ上运动，且这个动椭圆的平面总是垂直于Y轴；一、椭球面(2)当a=b=c时，得球面，即：S椭变成了S球；(3)椭球面的一般形式为：二、单叶双曲面zyx1.位置(1)无界：(2)对称性：2.截痕(作图)z=h二、单叶双曲面zyx3.注意z=h(1)单叶双曲面可以看作是由变形椭圆运动产生的，该椭圆的一对顶点分别在两条双曲线ΓXZ、ΓYZ上运动，椭圆的平面总垂直于Z轴(共同的虚轴)。二、单叶双曲面3.注意(2)你能分别写出

8、以X和以Y