第十,十一章,十二章总复习.ppt

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1、1．二重积分2．三重积分3．重积分的应用一、本章要点1．二重积分二重积分的计算1)直角坐标2)极坐标2．三重积分三重积分的计算1)直角坐标2)柱面坐标变换公式3)球面坐标变换公式3．重积分的应用1)曲面的面积设空间曲面块在上的投影为有界闭区域，曲面方程有连续偏导，则曲面面积2)质心坐标⑴平面薄片设平面薄片所占区域为有界闭区域，密度为连续函数，则质心坐标满足其中为曲面块的质量．当为常数时，相应的质心也称为形心．⑵空间立体设平面薄片所占区域为有界闭区域，密度为连续函数，则质心坐标满足3)转动惯量⑴平面薄片为连续函数，则转动惯量为设平

2、面薄片所占区域为有界闭区域，密度⑵空间立体设平面薄片所占区域为有界闭区域，密度为连续函数，则转动惯量为4)引力空间物体对具有单位质量的质点的引力1．对弧长的曲线积分2．对坐标的曲线积分3．对面积的曲面积分4．对坐标的曲面积分5．基本公式：格林公式、高斯公式和斯托克斯公式第十一章要点1．对弧长的曲线积分积分形式积分方法(1)平面曲线积分(1)平面曲线积分(2)空间曲线积分直角坐标系：设曲线，其中具有连续导数，则参数方程：设曲线，其中具有连续导数，则极坐标：设曲线，其中具有连续导数，则(2)空间曲线积分具有连续导数，则设曲线，其中2

3、．对坐标的曲线积分积分形式(1)平面曲线设有向曲线，则曲线积分为(2)空间曲线设有向曲线，则曲线积分为积分方法(1)平面曲线具有连续导数，则设曲线为，其中(2)空间曲线设曲线，其中具有连续导数，则3．对面积的曲面积分积分形式积分方法设曲面的方程为在面上投影区域为，则4．对坐标的曲面积分其中：上侧取正，下侧取负．积分形式积分方法设曲面的方程为在面上投影区域为，则5．基本公式1)格林公式曲线积分与路径无关条件：曲线积分设是平面上的有界闭区域，函数在上有连续偏导，则与路径无关此时全微分求积满足为全微分此时2)高斯公式设是空间的有界闭区

4、域，函数在上有连续偏导，则3)斯托克斯公式设为分片光滑曲面，函数在上有连续偏导，则1．常数项级数及审敛法2．幂级数3．傅里叶级数第十二章要点1．数项级数及审敛法1)数项级数及收敛性设常数项级数，部分和，若部分和数列收敛，即极限存在，则称级数收敛，并记2)正项级数及审敛法⑴比较判别法及极限形式两个正项级数有相同的收敛性．设正项级数及且，则收敛时收敛；发散时发散．设正项级数及，若，则这设正项级数及，若，且级数收敛，则级数收敛；若且级数发散，则级数发散．⑶根值法⑵比值法正项级数，若，则级数收敛；，则级数发散．正项级数，若，则级数收敛；

5、，则级数发散．3)交错级数及收敛性4)绝对收敛及条件收敛交错级数满足：⑴单调减少，⑵，则级数收敛．对级数，若级数收敛，则级数收敛，此时称级数绝对收敛；若级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛．2．幂级数1)幂级数的收敛半径设幂级数收敛半径为．⑴比值法：若，则．⑵根值法：若，则．2)幂级数的运算设幂级数及，收敛半径分别为和，令，则当时，两级数均为绝对收敛，且有3)泰勒级数函数在的邻域中有任意阶导数，幂级数称为函数在的泰勒级数．若该幂级数的收敛半径为，且，则当时，有当时，相应的泰勒级数称为麦克劳林级数．常用的麦克劳林展开式：3．傅里

6、叶级数1)周期为的可积函数的傅里叶级数设在上可积，记称为的傅里叶系数．三角级数称为的傅里叶级数．满足：(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；(2)在一个周期内至多只有有限个极值点，点时，级数收敛到左右极限的平均值，即此时有则的傅里叶级数收敛，并且逐点收敛定理设是周期为的周期函数，且当为连续点时，级数收敛到；当为第一类间断相应的傅里叶级数为2)周期为的可积函数的傅里叶级数设在上可积，其傅里叶系数为其收敛性与周期为的可积函数完全平行．前者称为正弦级数，而后者称为余弦级数．3)周期为的可积函数的正弦级数与余弦级数设在上可积，

7、且为奇函数，则相应的傅里叶级数为若为偶函数，则相应的傅里叶级数为