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时间:2020-01-13
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1、第二节幂级数与解析函数1、幂级数的收敛性最简单的解析函数项级数就是幂级数:,这里{c0,c1,….}为给定的常数。为讨论其收敛性,首先给出如下几个定理。定理1(Abel):如果幂级数在某点z0(z00)收敛,则它在以O为圆心并通过z0的圆内绝对收敛,并且在任何一个较小的闭圆
2、z
3、(<
4、z0
5、)上一致收敛。证明:由于幂级数在z0点收敛,所以其各幂级数项在z0点有界,令:,则在任意较小的闭圆内有:则在任意小闭圆内:显然,在任意小闭圆内幂级数绝对收敛。推论:如果幂级数在某点z0(z00)发散,则它在以o为圆心并通过z0的圆的外部
6、z
7、(
8、z0
9、)必定发散。证
10、明:由定理1知,如果以o为圆心并通过z0的圆的外部
11、z
12、(
13、z0
14、)有一点收敛,则z0(z00)点必收敛。显然结论错误,所以推论成立。例1、证明级数除z=0点外都发散。证明:对于z0,则:显然,其通项无界,所以该幂级数发散。例2、证明级数处处收敛。证明:若令:则:,所以不管z离O点有多远,只要从某项N后,就可保证:显然,级数绝对收敛。例3、证明级数在
15、z
16、1时收敛,而
17、z
18、1时发散。证明、当
19、z
20、1时有所以收敛。而z=1时,该幂级数发散,则
21、z
22、>1时幂级数发散。定义:如果幂级数在复空间上并不是处处收敛或处处发散,则必然存在以原点O为圆心、R为半径的圆
23、(
24、z
25、R),使得在圆内幂级数处处收敛,而在圆以外处处发散,该圆称为该幂级数的收敛圆,而R就称为收敛半径。收敛半径的计算方法:对于幂级数,其收敛半径为:例4、求幂级数的收敛半径.解:根据,三个幂级数的收敛半径都是1。而在收敛圆上:处处发散;在z=1处发散,在z=-1时收敛;在收敛圆上处处收敛。2、解析函数的幂级数表示定理2(Taylor):如果函数f(z)在区域D上解析,D,只要圆
26、z-
27、28、于:,则利用:有:所以:(1):指数函数处处解析,且:3、几个初等解析函数的幂级数表示则:(2)三角函数:正弦函数与余弦函数处处解析,且:所以:(3)并由此得:由于:
28、于:,则利用:有:所以:(1):指数函数处处解析,且:3、几个初等解析函数的幂级数表示则:(2)三角函数:正弦函数与余弦函数处处解析,且:所以:(3)并由此得:由于:
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