§42-幂级数与解析函数.ppt

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1、第二节幂级数与解析函数1、幂级数的收敛性最简单的解析函数项级数就是幂级数：，这里{c0,c1,….}为给定的常数。为讨论其收敛性，首先给出如下几个定理。定理1(Abel)：如果幂级数在某点z0(z00)收敛，则它在以O为圆心并通过z0的圆内绝对收敛，并且在任何一个较小的闭圆

2、z

3、(<

4、z0

5、)上一致收敛。证明：由于幂级数在z0点收敛，所以其各幂级数项在z0点有界，令：，则在任意较小的闭圆内有：则在任意小闭圆内：显然，在任意小闭圆内幂级数绝对收敛。推论：如果幂级数在某点z0(z00)发散，则它在以o为圆心并通过z0的圆的外部

6、z

7、(

8、z0

9、)必定发散。证

10、明：由定理1知，如果以o为圆心并通过z0的圆的外部

11、z

12、(

13、z0

14、)有一点收敛，则z0(z00)点必收敛。显然结论错误，所以推论成立。例1、证明级数除z=0点外都发散。证明：对于z0，则：显然，其通项无界，所以该幂级数发散。例2、证明级数处处收敛。证明：若令：则：，所以不管z离O点有多远，只要从某项N后，就可保证：显然，级数绝对收敛。例3、证明级数在

15、z

16、1时收敛，而

17、z

18、1时发散。证明、当

19、z

20、1时有所以收敛。而z=1时，该幂级数发散，则

21、z

22、>1时幂级数发散。定义：如果幂级数在复空间上并不是处处收敛或处处发散，则必然存在以原点O为圆心、R为半径的圆

23、(

24、z

25、R)，使得在圆内幂级数处处收敛，而在圆以外处处发散，该圆称为该幂级数的收敛圆，而R就称为收敛半径。收敛半径的计算方法：对于幂级数，其收敛半径为：例4、求幂级数的收敛半径.解：根据，三个幂级数的收敛半径都是1。而在收敛圆上：处处发散；在z=1处发散，在z=-1时收敛；在收敛圆上处处收敛。2、解析函数的幂级数表示定理2(Taylor)：如果函数f(z)在区域D上解析，D，只要圆

26、z-

27、

28、于：，则利用：有：所以：(1)：指数函数处处解析，且：3、几个初等解析函数的幂级数表示则：(2)三角函数：正弦函数与余弦函数处处解析，且：所以：(3)并由此得：由于：