Radon变换课件.pdf

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1、Radon变换崔小强目录1、Radon变换定义2、Radon变换基本性质3、Radon反变换1、Radon变换定义图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理，常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间以得到所需的效果。正变换：图像空间到其他空间反变换：其他空间到图像空间1、Radon变换定义对f(x,y)的Radon变换R(p,θ)定义为沿由p和θf定义的直线l的线积分。1、Radon变换定义上述线积分可写为：Rfpfxydl,(,)

2、如果借助Delta函数，上述线积分还可写为：Rf(,)pfxy(,)(pxcosysin)dxdy1、Radon变换定义由于直线l的方程p=xcosθ+ysinθ给出，所以借助Delta函数的性质，可知上式就是l的线积分。注意：R（p，θ）并不是定义在极坐标系统中f的，而是定义在一个半圆柱的表面。1、Radon变换定义根据f(x,y)的定义，如果已知-∞＜p＜∞的Rf(p,θ)值，那么只需知道0≤θ≤∏之间的Rf(p,θ)值就能完全确定R(p,θ)。f1、Radon变换定义对f(x,

3、y)的2-D傅里叶变换与对f(x,y)先进行Radon变换后再进行1-D傅里叶变换得到的结果相等。证明：利用Delta函数，可将2-D傅里叶变换写为：1、Radon变换定义改变积分次序，并令s=qp，q＞0，得到：在傅里叶空间，令u=qcosӨ，v=qsinӨ。利用Delta函数的性质1、Radon变换定义可将q从Delta函数中提出来得到：投影层定理对f(x,y)沿固定角度q=Q的投影的1-D傅里叶变换就是对f(x,y)的2-D傅里叶变换中的一层1、Radon变换定义2、Radon变换基本性质(1)线性(2)相似性如果，

4、则：2、Radon变换基本性质(3)对称性考虑如下等式(其中t=(cosӨ,sinӨ)为与l垂直方向上的单位矢量。2、Radon变换基本性质常熟因子a可以从Delta函数中提出来，得到：如果a=-1，则表明Radon变换是阶为-1的偶函数：2、Radon变换基本性质(4)平移性给定，则对任意的常数a和b，f(x-a,y-b)的Radon变换可如下计算：2、Radon变换基本性质(5)微分f，其他结果可用相同方法得到。这里仅考虑xffx[(ecos),]yfxy(,)limxe0ecos现在对上式两边取R

5、adon变换，利用平移性质得到：fRRff[pet,][,]pt[]coslimxee02、Radon变换基本性质根据偏微分的定义得到：fRf[,]pt[]cosxp(6)卷积这里用表示1-D卷积，而用表示2-D卷积以示区别。对Radon变换的卷积定理可如下表示：如果fxy(,)gxy(,)hxy(,)，那么对2、Radon变换基本性质f(x,y)的Radon变换等于g(x,y)和h(x,y)在Radon空间变换的1-D卷积：Rf(,)pt(gh)RgRhRg

6、(,)qtRh(pqtdq,)3、Radon反变换Radon反变换给出从投影重建的解。对Radon反变换的推导可借助傅里叶变换进行。因为fxy,可用Fuv（,)的2D-傅里叶反变换表示，写成极坐标形式为：fxy(,)d[qFqt()exp(2jqpdp)]03、Radon反变换上式中方括号内是qFqt()1-的D傅里叶反变换。利用傅里叶变换的卷积定理可得：111F{qF(qt)}F{q}F{F(qt)}上式等号右边的第二项等于Radon变换Rf(,)xy。3、Radon反变换1fxy(

7、,)d[FR{}qf(,)]qt0将q的1-D傅里叶反变换表示为：1111sgnqF{q}=F{sgn}qqF{2jq}F{}j2利用微分性质，可将上式第2个等号右边的第一个反变换表示为：3、Radon反变换1，F{2}j（p）利用柯西主值，可将上式第2个等号右边的第2个反变换表示为：1sgnq11{}=()F2j2p21，11于是{q}=（p）()F22p3、Radon反变换经整理得到Radon反变换：1，11fxy(,)22d[Rf(,)pt（p）()

8、]220p