radon变换图像重构

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1、图像重建概述图像重建是图像处理中的一个重要分支，广泛地应用于物体内部结构图像的检测和观察中，它是一种无损检测技术。关于图像处理的一些基本内容，如对图像的几何处理，图像的增强，还有复原等，均是从图像到图像，即输入的原始数据是图像，处理后输出的仍是图像。而图像重建是从数据到图像。图像重建的三种常用检测模型：透射模型、发射模型、反射模型---我们从CT谈起计算机层析成像（ComputedTomography,CT）是通过对物体进行不同角度的射线投影测量来获取物体横截面信息的成像技术。CT的核心技术是由投影数据来重建图像的理论，其实质是由扫描所得到的的投影数据来求出成像平面上每个点的衰减系数

2、值。二维投影与CT值当强度为的x-ray通过吸收率为μ(x,y)的均匀吸收物体，由于均匀吸收，则I必是指数下降，则有这里s表示射线经过的体内距离长度1、我们假设切片（物体横截面，断面）无限薄。2、我们认为,一幅图像在任意点(x,y)上的灰度值正比于那个点的相对线性衰减系数μ(x,y)。CT任意角度扫描经坐标系旋转变换后可得：所以所谓投影是测量值，是吸收系数沿着射线经过直线的积分。实际上的问题是沿着若干条直线的积分估算值来计算μ(x,y)值。而对于任意角度扫描，需要用旋转坐标来描述问题，建立置于扫描系统之上的旋转坐标系，即让射线束与旋转坐标系的轴平行：所以θ角每旋转1度就可以取一组投

3、影数据，可得到180组不同的投影。CT就是在收集各角度θ的投影数据后，利用重建算法处理得到物体的图像。是离散值，是测出值！Radon变换Radon变换是计算图像在某一指定角度射线方向上的投影的变换方法。二维函数f(x,y)的投影是其在确定方向上的线积分，如下图所示，二维函数f(x,y)在水平方向的线积分就是f(x,y)在y轴上的投影，二维函数f(x,y)在垂直方向的线性积分就是f(x,y)在x轴上的投影。Radon变换（续）由此，可以沿任意角度计算函数的投影，计算图像f(x,y)在任意角度的Radon变换。中心切片定理密度函数在某一方向上的投影函数的一维傅立叶变换函数是原密度函数的二

4、维傅立叶变换函数在平面上沿同一方向且过原点的直线上值。滤波反投影算法的原理1、在不同的角度下取得足够多的投影数据(Radon变换)2、将这些投影数据做一维的Fourier变换，那么变换后的这些数据将充满整个(u,v)平面。（许多过原点成不同夹角的直线）3、也就是说，F(u,v)的全部值都为已知，那么我们将其做一次二维的Fourier逆变换就可以得到原始的衰减系数函数f(x,y)二维傅立叶反变换作坐标变换，令：可得出：表示对投影函数的Fourier变换进行滤波变换，其中是滤波函数。由傅立叶变换性质可知．频域中的滤波运算可等效地在空域中用卷积运算来完成所以要实现对投影数据实现图像重建，可

5、以采取两步：首先将投影数据和响应脉冲滤波器进行卷积，然后由式对不同旋转角θ求和，就能实现图像重建。这就是卷积法进行图像重建的基本思路和方法。卷积可看作一种滤波手段，卷积投影相当于对数据先滤波再将结果逆投影回来，这样可以使模糊得到校正。所以：式中h(R)为滤波函数纠的空域形式反投影算法举例基本原理是将所测得的投影值按其原路径平均的分配到每一点上，各个方向上投影值反投影后，在影像处进行叠加，从而推体出原图像。而滤波却是要投影函数的一维Fourier加上权重因子。算法举例123456算法举例根据反投影算法x1=p5=5x6=p2+p3+p5=18…平均化处理，除以投影线数目xi=xi/60

6、00005200100000056237181271108136250.8310.3300.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83反投影重建后原像素值再除以投影线数，平均化断层平面中某一点的密度值可看作这一平面内所有经过该点的射线投影之和的平均值123456伪迹反投影重建后，原来为0的点不再为0，形成伪迹00000520010000000.8310.330.51.16321.160.061.661.330.160.510.330.83原像素值再除以投影线数，平均化星状伪迹我们考虑孤立点源反投影重建，中心点A经n条投影线投影后，投影值均为1：p1

7、=p2=...=pn=1因此重建后而其他点均为1/n这类伪迹称为星状伪迹1/n1/n1/n1/n11/n1/n1/n1/n000010000星状伪迹产生星状伪迹的原因在于：反投影重建的本质是把取自有限物体空间的射线投影均匀地回抹(反投影)到射线所及的无限空间的各点之上，包括原先像素值为零的点（其实就是投影数据少产生的！！！）(a)孤立点源(b)反投影重建图像及星状伪迹滤波反投影算法滤波反投影法采用先修正、后反投影的做法，其基本方法是：在某一投影角下取得了投