理论力学 刚体学力2.ppt

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1、例：长为2l，质量为M的均匀梯子，上端靠在光滑的墙上，梯与地面的摩擦系数为。有一质量为m的人攀登到距离下端l1的地方，如图所示。求梯子不滑动的条件。yxOl1长为2l，质量为M的均匀梯子，上端靠在光滑的墙上，梯与地面的摩擦系数为。有一质量为m的人沿着梯子向上攀登，如图所示。倾角为q时，求人所能攀登到的最高点离下端的距离l1满足的条件。例题yxOl1刚体既不平动，也不转动刚体的平衡问题：；解:假定梯子刚好不滑动，则梯子受力情况如图所示，q为梯子与地面夹角N1mgN2CfMgq联立可得由梯子不滑动的条件得对于一定倾角q，人所能攀登的高度须满足讨论：若要求人攀登的高度为l1，则要求梯

2、子的倾角为§3.5转动惯量刚体的动量矩令有2.刚体的转动动能刚体对O点的转动动能3.转动惯量转动惯量的计算1.离散分布的物体2.连续分布的物体说明：1)刚体的转动惯量是由总质量、质量分布、转轴的位置三个因素决定;2)同一刚体对不同转轴的转动惯量不同,凡是提到转动惯量,必须指明它是对哪个轴的才有意义;3)物体由A和B两部分组成,则有,其中I、IA和IB是相对于同一转轴.令回转半径转动惯量4.惯量张量和惯量椭球对质量连续分布的刚体，转动惯量轴转动惯量惯量积例1：均匀细棒：长L、质量mABLXABL/2L/2CX解：绕A轴转动若绕C轴转动，则例2：质量为m半径为R的匀质薄球壳绕过中心轴的

3、转动惯量在球面取一圆环带，半径*平行轴定理推广：若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为I，则有——平行轴定理I＝IC＋md2说明：1)通过质心轴线的转动惯量最小2)可用来计算刚体的转动惯量ABLXABL/2L/2CXccodIIco因为由可得上式也可用惯量张量表出注意刚体绕通过O点的不同轴转动，转动惯量不同是否有简单的计算公式？惯量椭球方程将坐标系固定在刚体上，使惯量系数为常数。进一步选择坐标轴取向，来消去惯量积。在转动轴上取线段Q点的坐标利用Q点的轨迹方程得到5.惯量主轴及其求法一般坐标系下的惯量椭球若取椭球三主轴为坐标轴，交叉项消失，得到主轴坐标系下的惯量

4、椭球动能和角动量简化为例1均匀长方形薄片绕对角线的转动惯量。例2：3.7如椭球方程为：，试求此椭球绕其三个中心主轴转动时的中心主转动惯量。设此椭球的质量为，并且密度是常数。3.5刚体的平动与绕固定轴的转动3.5.1刚体的平动刚体平动时，刚体内所有的点都有相同的速度和加速度，任何一点的运动都可代表全体，通常我们用质心的运动来代表刚体整体的运动。3.5.2绕固定轴的转动刚体作定轴转动时，在某一时刻，质点的速度为：式中是刚体绕固定轴转动的角速度，为质点的位矢，Ri为到转动轴的垂直距离。其加速度为：式中为切向加速度，为法向加速度。其动量矩为：其动力学方程为：其机械能守恒定律表达式为：例一：

5、复摆设质量为m的复摆绕通过某点O的水平轴作微小振动，试求其运动方程及振动周期。例二：p235-3.13一段半径为的均质圆弧，绕过弧线中心并与弧面垂直的轴线摆动，求作微振动时的周期。3.定轴转动轴上的附加力刚体作定轴转动，可看作是AB两点不动的约束运动，去掉约束代之以约束反力，就可以动量定理和动量矩定理求运动和约束反力。为平衡方程，可求静约束反力。为运动方程，可求动约束反力。要使刚体转动时轴上没有附加压力，要有该方程组有解的条件是xc,yc,Iyz和Izx同时为零，即重心在转动轴（惯量主轴）上。3.6刚体的平面平行运动3.6.1平面平行运动的运动学刚体作平面平行运动时，我们可以认为它

6、的运动是随基点的平动和绕基点的转动这两种基本运动所合成。则刚体中任一点的速度为：式中为该点对A点的位矢，为该质点对固定坐标系原点的位矢，而为基点A对固定坐标系原点的位矢。上式在直角坐标系下的表达式为：选取随刚体一同运动的动坐标系，则上式变成：刚体中任一点的加速度为：因，在平面平行运动中恒有，所以：作平面运动的刚体的角速度不为零时，在任一时刻刚体上恒有一点的速度为零，这点叫做转动瞬心，其坐标为：相对与随刚体运动的动坐标系而言：利用转动瞬心C与刚体上任一点连线与其速度方向垂直，可以用几何法求瞬心ABC转动瞬心的求法转动瞬心C在固定平面xy上的轨迹称为空间极迹，而在薄片上（动平面）的轨迹

7、称为本体极迹。刚体的运动是本体极迹在空间极迹上的无滑滚动。例如车轮在轨道上的滚动。例一：p236-3.15一轮的半径为，以匀速无滑动地沿一直线滚动。求轮缘上任一点的速度及加速度。及最高点及最低点的速度各等于多少？哪一点是转动瞬心？例二：p236-3.17长为的杆在一固定平面内运动，其端在半径圆周里滑动，而杆本身则于任何时刻均通过此圆周的点。试求杆上任一点的轨迹及转动瞬心的轨迹。OC3.6.2平面平行运动动力学刚体平面平行运动可分解为质心的平动和绕质心的定轴转动。质心的