第5章静态场边值问题1.ppt

《第5章静态场边值问题1.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第5章　静态场边值问题(一)高斯定理或安培环路定理可以用于求解简单或对称分布的静态场分布，但无法用于复杂的或非对称问题的求解。工程中通常会遇到更复杂的情况，通常可以用求解边值问题的方法来求解。求解边值问题的方法通常有解析法和数值法。5.1边值问题的分类边值问题包括方程（拉普拉斯方程或泊松方程）和边界条件，根据在场域V的边界S上的边界条件，边值问题类型有：第一类边值问题：其边界条件为如果f1(S)=0称为齐次边界条件狄里赫利问题第三类边值问题：其边界条件为纽曼问题混合边值问题第二类边值问题：其边界条件为5.2.1静电场的惟一性定理边值问题的求解有多种方法，各种方法得到的结果

2、是否正确，需要有理论依据。静电场唯一性定理的表述区域V内的和给定，边界S上给定f1(S)或f2(S)的值，则拉普拉斯方程或泊松方程的解惟一确定。静电场惟一性定理的证明设有两个解1和2，分别满足方程5.2惟一性定理F1和F2指的是第一和第二类边界条件将上式在V上积分，得对于第一类和第二类边值问题，在边界S上分别有对于第三类边值问题，可以得到同样的结论。静电场惟一性定理综述涵义：只要给定了边界条件，标量位拉普拉斯方程或泊松方程的解就是惟一确定的（至多相差一个常数）意义：无论用什么方法求得拉普拉斯方程或泊松方程的解，只要满足给定的边界条件，所得的解就是正确的5.2.2静

3、磁场的惟一性定理静磁场惟一性定理的表述区域V内的J和给定，边界S上给定矢量位A或磁场强度H的的切向分量，则V内的磁场可惟一确定。静磁场惟一性定理的证明设有区域V内磁场存在两个解B1和B2，分别满足由此构造一个新的场，即且在边界上有利用矢量恒等式　　　　　　　　　　　　　　　可将上式变成以下两种形式：考虑积分要使积分为零，应有　　　　　　　　　　　。可见，假设的两个解实际上是一个解。5.3镜像法求解静电场边值问题当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷和极化电荷将影响场的分布。同样的，磁场分布也有类似问题。此时，用高斯定理求解

4、很困难，可以用镜像法进行求解。qq′非均匀感应电荷等效电荷非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代几个实例（以电场分布为例）接地导体板附近有一个点电荷，如图。5.3.1镜像法的基本思想接地导体球附近有一个点电荷，如图。q非均匀感应电荷q′等效电荷非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电荷为线电荷。结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为一个或多个点电荷或线电荷的作用。问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？镜像法的理论依据由惟一性定理，满足同一方程和同样边界条件的电位分布的

5、解是相同的（至多相差一个常数），所以引入像电荷（等效电荷）后，应该有电位函数仍然满足原方程（拉普拉斯方程或泊松方程）原电荷所在空间电位分布仍满足原边界条件如果要使得这两个条件同时满足，需要合理地选择像电荷的位置和电量理论依据唯一性定理解的可靠性像电荷的确定5.3.2导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像原问题qzx=∞h由图可知，接地导体板附近有一个点电荷时，电力线垂直导体板，等位线平行导体板。这是点电荷与导体板上的感应电荷共同作用的结果。计算机模拟的接地导体板附近有一个点电荷时的电场分布图显然可将感应电荷的作用用位于－h的像电荷q′＝－q替代。q′qzxh

6、-hRR′O显然，满足边界条件，原问题不变，所得的解是正确的。q′qzx=∞h-h考察原问题是否得到满足：由于像电荷位于z<0区域，原方程不变，且有P线电荷对无限大接地导体平面的镜像原问题lzx=∞hl′-h显然可将感应电荷的作用用位于－h处的像电荷l′＝－l替代。显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。RR′考察原问题是否得到满足：由于像电荷位于z<0区域，原方程不变，且有P点电荷对相交半无限大导体平面的镜像q3q=∞d1d212设：两个半无限大导体平板相互垂直相连且接地，点电荷q位于(d1，d2)处。对于平面2，有镜像电荷q2=

7、－q，位于－d2。-d2q2q1-d1显然，q1对平面2、q2对平面1不能满足边界条件。只有再加上q3后，所有边界条件才能得到满足。rr1r2r3对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于－d1。P用计算机模拟的，当夹角为60°的两个半无限大接地导体平板之间有一个点电荷q时，镜像电荷的位置示意图由图可知，点电荷q共有5个像电荷6个电荷两两成对地分别构成两个平面（包括平面的延伸部分）的镜像关系，缺一不可例1一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，（外力）需要做多少功？。q′qx=∞0d-d解：移动电荷q时，外