三大抽样分布及常用统计量的分布.ppt

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1、数理统计中常用的分布除正态分布外，还有三个非常有用的连续型分布，即2分布t分布F分布数理统计的三大分布(都是连续型).它们都与正态分布有密切的联系.在本章中特别要求掌握对正态分布、2分布、t分布、F分布的一些结论的熟练运用。三大抽样分布是后面各章的基础。第四节三大抽样分布及常用统计量的分布(卡方)—分布定义1:设总体,是的一个样本，则统计量的概率密度函数为称统计量服从自由度为的分布，记作01357911131517x0.50.40.30.20.1n=1n=4n=10图5-4f(y)其图形随自由度的不同而有所改变.分布密度函数的图形注：自由度是指独立随机变量的个

2、数，性质1：2分布的数学期望与方差设～，则E()=n，D()=2n.性质2：2分布的可加性设且相互独立，则定理1设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N(，2)的样本，则证明：由已知，有Xi～N(，2)且X1，X2，…，Xn相互独立，则，且各相互独立，由定义1:得定理3:设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体X～N(，2)的样本，则(1)样本均值与样本方差S2相互独立；(2)(4.1)(4.1)式的自由度为什么是n-1？从表面上看，是n个正态随机变量的平方和，但实际上它们不是独立的，它们之间有一种线性约束关系：=0这表明，当这个n个正态随机

3、变量中有n-1个取值给定时，剩下的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1项是独立的.所以(4.1)式的自由度是n-1.定理3：设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体X～N(，2)的样本，则(1)样本均值与样本方差S2相互独立；(2)(4.1)与以下补充性质的结论比较：性质设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N(，2)的样本，则其几何意义见图5-5所示.其中f(x)是2分布的概率密度。f(x)xO图5-5显然，在自由度n取定以后，的值只与有关。2分布的上侧分位点例如：当n=21，=0.05时，由附表3可查得，32.67

4、，即二、分布定义3:设随机变量X～N(0，1)，Y～2(n)，且X与Y相互独立，则称统计量服从自由度为n的t分布，记作t分布的概率密度函数为T～t(n).其图象如图5-6所示，其形状类似于标准正态分布的概率密度函数的图象。当n较大时，t分布近似于标准正态分布。定理4设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体X～N(，2)的样本，则统计量证：由于与S2相互独立，且由定义3得定理5设(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2)分别是来自正态总体N(1，2)和N(2，2)的样本，且它们相互独立，则统计量其中、分别为两总体的样本方差。分布的上侧分位

5、点对于给定的(0<<1)，称满足条件的点t(n)为t分布的上分位点。其几何意义见图5-7.f(t)tOt(n)图5-7t分布的双侧分位点由于t分布的对称性，称满足条件的数t/2(n)为t分布的双侧分位点。其几何意义如图5-8所示.f(t)tOt/2(n)/2/2-t/2(n)图5-8在附表4(P256)中给出了t分布的临界值表。例如，当n=15，=0.05时，查t分布表得，t0.05(15)=,t0.05/2(15)=1.7532.131其中t0.05/2(15)可由P{t(15)≥t0.025(15)}=0.025查得。但当n>45时

6、，如无详细表格可查，可以用标准正态分布代替t分布查t(n)的值.即当n>45时，t(n)u一般的t分布临界值表中，详列至n=30，当n>30就用标准正态分布N(0,1)来近似.三、F分布服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，定义5.5设随机变量X～2(n1)、Y～2(n2)，且与相互独立，则称随机变量记作F～F(n1，n2)，其概率密度函数为：其中其图形见图5-9(P108)。性质：若X～F(n1，n2)，则～F(n2，n1)。一、F分布的上侧分位点对于给定的(0<<1)，称满足条件的数F(n1，n2)为F分布的上侧分位点。其几何意义

7、如图5-7所示。f(y)xO图5-7F(n1,n2)其中f(y)是F分布的概率密度。F分布的上侧分位点F(n1,n2)的值可由F分布表查得.附表5、6、7(P258～P266)分=0.1、=0.05、=0.01给出了F分布的上分位数.当时n1=2,n2=18时，有F0.01(2,18)=6.01在附表5、6、7中所列的值都比较小，当较大时，可用下面公式查表时应先找到相应的值的表.例如，≈0.166定理5.4为正态总体的样本容量和样本方差；设为正态总体的样本容量和样本方差；且两个样本相互独立，则统计量证明由已知条件知且相互独立，由F分布的定义有

8、小结几种常