应用PDE讲义16_拟谱方法.pdf

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1、应用偏微分方程与科学计算讲义（十六）Lecture Notes on  Applied Partial Differential Equations and Scientific Computing No. 16 马石庄2011．11．08．北京1第16讲谱方法与拟谱方法教学目的：谱方法是一种既古老又新兴的求解偏微分方程的数值方法，离散Fourier变换的快速算法出现，给谱方法带来了生机，有效地解决了谱方法计算量巨大的困难，使其具有实用价值。谱方法已和有限差分法、有限元法一起成为数值求解偏微分方程的第三种基本方法．主要内容：§1  谱方法.

2、.............................................................................................41.1Fourier谱方法.............................................................................41.2 Galerkin方法..........................................................................

3、.....71.3 Gauss型求积.............................................................................11§2 Fourier拟谱法..................................................................................162.1 离散Fourier变换................................................................

4、.....172.2 插值函数的微分.......................................................................202.3 例子...........................................................................................24§3 Chebyshev拟谱法....................................................................

5、........263.1 离散多项式变换.......................................................................273.2 Chebyshev多项式.....................................................................303.3 例子......................................................................................

6、.....34练习16...................................................................................................372谱方法与差分法和有限元法都不同。在谱方法中试探函数被取为无穷可微的整体函数，一般是奇异和非奇异Sturm‐Liouville问题的特征函数。根据检验函数数的不同选取，谱方法可以分为Galerkin方法，Tau方法或配置法，又称为谱方法，Tau方法或拟谱方法。在Galerkin方法中，检验函数与试探函数属于同一个空间，并

7、要求满足边界条件；Tau方法类似Galerkin方法谱方法，但不要求检验函数满足边界条件．而是利用边界条件再补充一些方程，最后得到一个封闭的方程组；配置法则是取检验函数为以那些配置点为中心的Dirac‐ߜ函数，使得微分方程在这些配置点上精确成立．如果按所讨论的问题是否周期，又可把谱方法分为Fourier谱方法（周期情形）和Chebyshev谱方法，Lagrange谱方法和Hermit谱方法等，这些方法是分别以三角多项式，Chebyshev多项式，Legendre多项式，Hermit多项式等Sturm‐Liouville问题的谱函数作为基函数

8、的来讨论问题。由于FFT的出现以及Chebyshev多项式和三角函数间的密切关系，使得Chebyshev谱方法考虑得更多。在实际应用中，拟谱方法比谱方法更有效，因为它更易于和快速