应用PDE讲义18_球函数和柱函数.pdf

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1、应用偏微分方程与科学计算讲义（十八）LectureNotesonAppliedPartialDifferentialEquationsandScientificComputingNo.18马石庄2010.11.15北京1第18讲球函数与柱函数教学目的：在一维空间中，边界最简单，只有两个点。在高维空间中，边界的形状在定解问题求解中起重要作用，边界形状也决定着坐标系的选取。选取不同的坐标系，直接影响微分方程的类型。在常用曲面坐标系中方程的变数分离，得到特殊常微分方程，解用特殊函数表示。主要内容：§1.特殊函数...................

2、........................................................................31.1曲线坐标......................................................................................41.2二阶常微分方程的级数解..........................................................91.3超越函数...........................

3、.........................................................16§2球函数...............................................................................................202.1Legendre多项式.........................................................................212.2完备系..................

4、......................................................................252.3位势场多极子展开....................................................................31§3柱函数...............................................................................................343.1Bessel函数........

5、.........................................................................353.2Bessel方程特征值问题.............................................................393.3柱面波与球面波.......................................................................41习题18.................................

6、..................................................................472当面对更为复杂的物理现象，特别是在弦振动的研究中，18世纪的数学家们得到了偏微分方程．在19世纪这两个课题的地位略有倒转，用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题。因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出，得到的常微分方程是陌生的，并且不能用封闭形式解出。圆柱体和球体位形是三维空间的两种简单区域，自然有广泛深入的研究。数学家采用无穷级数解，称为特殊函数（specialfunction）或高级超

7、越函数（HigherTranscendenealFunctions），以便与sinݔlog，௫݁，ݔ这样的初等超越函数相区别。为了使用这些特殊函数的所有类型，必须知道它们的性质，就象对初等函数的性质一样熟悉．还因为这些特殊函数更为复杂，所以其性质也同样复杂．原始论文和教科书中的文献几乎是难以置信地庞杂．对于Bessel函数、球函数、椭球函数、Mathieu函数以及其它类1型的函数已经有了完整的专门论著。§1.特殊函数解波动方程的进展是与所谓稳态问题密切联系的，它导致简化的波动方程．波动方程，就其形式本身来说，是包含时间变量的．在许多物理问题中

8、，如过人们感兴趣的是简单谐波就假设。1王竹溪、郭敦仁著：《特殊函数概论》，科学出版社，北京，1965.该书已译成英文，由新加坡世界科学出版公司出版。它集Ｅ．Ｔ．惠塔