理论力学-刚体运动的矩阵与向量描述.pdf

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1、第第22章章刚刚体体运运动动第1节与与刚体运动的向量-矩阵描述复复合合运运动动向量与列阵向量与列阵第第22章章刚刚向量：r=xyij++zk体体T列阵：r=[]xyz运运向量在直角坐标系中的列阵动动与与向量向量不依赖于坐标系的选择，而列阵列阵是向量在复复给定坐标系中的分量形式，它依赖于坐标系的合合选择。运运向量的导数：ri"=xy""++jz"k动动T列阵的导数：r"=[]xy""z"运动方程运动方程第第22章章zZ刚刚PO-基点体体ryZ0ROOXYZ–固定坐标系0000运运YOxyz–固连坐标系R动动O0OY0XOXYZ–平

2、动坐标系与与xX复0复固连系的运动代表了刚体的运动！合合运运P点相对O0点的向径为坐标变换rA=ρR=Rr+动动O在O0X0Y0Z0中的列阵R=RrO+=RAO+ρρ已知且在刚体运动过程中保持不变！运动方程运动方程第第22章章RR=+Aρ刚刚O体体刚体的运动可以用一个向量向量和一个矩阵矩阵描述!运运RROO=()t—描述基点的运动（平动）动动A=A()t—描述刚体相对于基点平动坐与与标系的运动（定点运动）复复一般运动可以分解为基点的平动平动和刚体相对合合于基点平动坐标系的定点运动定点运动！运运动动刚体一般运动的运动方程：RR=(

3、)tA=A()tOO运动方程运动方程第第22章章TTT刚刚A是正交矩阵AAA==()AI体体100=010运运001动动与与复复六个独立的约束条件合合运运A的九个元素中只有三个独立，因此确定动动刚体的运动只需要六个独立参数。三个随基点的平动，三个绕基点的转动。运动方程运动方程第第22章章一般运动：刚刚R=RA()tt;=A()(3+3)体体OO运运定点运动：RO=0;AA=(t)(0+3)动动平动：RROO=()tI;A=(3+0)与与复复平面运动：合合R=RA()tt;=A()(2+1)OO运运动动定轴转动：R

4、O==0;AA(t)(0+1)平动：RROO==()tI;A(2+0)刚体上一点的速度刚体上一点的速度第第22章章T刚刚vR="rA=ρρ=Arρ"=0体体RR=+r运运ORR""=O+r"=+RA"O"ρ+Aρ"T动动=+RA"O"ArT与与AA"r=?RR""=+×ωr复复=()ω×rO合合vv=+ω×r运运Ov是基点O的速度。动动Or"=ω×rω称为刚体的角速度，它不依相对基点平动赖于基点的选择。系的速度！TA"A的计算的计算第第22章章AAIT=刚刚体体d()AATT=AA""+=AATAA"T+()AA"TT=0dt运

5、运动动ΑΑ""TT=−()AATA"AT是反对称矩阵！与与0−ωω32复复T=0−=AA"ωωω!31合合−ωω210运运如果我们将ω,ω,ω看作是向量ω在坐标系123动动TOXYZ中的分量，即ω=[,ω12ωω,3],那么TAA"r=ω!r=×()ωr返回刚体上一点的加速度刚体上一点的加速度第第22章章εω="刚刚vv=+×ωrOr"=ω×r体体角运运加aa=+×εr+ω×r"速动O动度与与aa=+×εr+ωω×()×r复复O向合合基转点动轴(运运的加心)动动加速加速度速度度特例：刚体的定轴转动特例：刚体的定轴

6、转动第第22章章取刚体的固定轴为固连坐标系的Oz轴，且与刚刚固定坐标系的OZ轴重合。体体cosϕϕ−sin0运运A=sinϕϕcos0动动001与与00−ϕ"复复"T="00合合AAϕ000运运T动动ω=[00ϕ"]ω=ϕ"kTε=[00ϕ""]ε=ϕ""k特例：刚体的定轴转动特例：刚体的定轴转动第第22章章刚刚体体v=0ω=ϕ"k运运O动动vv=+×ωr与与O复复=ϕ"kr×合合运运=ρϕ"τ动动特例：刚体的定轴转动特例：刚体的定轴转动第第22章章刚刚v=ω×r体体a=0ε=ϕ""kO运

7、运动动aa=+ε×r+ωω×()×rO与与复复=×ϕ""kr+ω×v合合运运动动速度投影定理速度投影定理第第22章章vvv=+×ωrB刚刚BAAB体体re=rB运运ABABA动动()ω×re⊥ABv与与A复复()ω×re⋅=0合合AB运运动动veBA⋅=⋅ve+()ω×reAB⋅veBA⋅=⋅ve速度投影定理速度投影定理第第22章章刚在任意时刻刚体上任意两点的速度在这两点刚的连线上的投影相等体体运运vB动动与与B复复A合合vA运运动动速度投影定理的物理解释？是否存在加速度投影定理？第第22章章刚刚体体运运动动与与复复合合运运动动

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