类比在中学数学教学中的应用.pdf

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1、第4卷第2期陈质坚类比在中学数学教学中的应用115类比在中学数学教学中的应用陈质坚（湖南平江一中湖南平江414000）摘要:在数学教学中运用类比来寻求解题思路,引出新知识，对问题进行推广与引伸，及通过与其它学科问题类比来培养学生能力，都能产生良好的教学效果。关键词：类比；类比教学类比推理是科学研究的重要思维形式，是创新的分析此问题一下难以找到答案,于是将问题类源泉之一，具有重要的思维训练价值和应用价值。在比成平面问题:平面内有n条直线,每两条直线交于数学学科中，类比可用于研究两类对象，已知其中一一点,无三条直线共点,问:这些直线将平面分成几类具有属性p1，p2，⋯，pn和

2、p，若另一类有类似的属性部份？p1’，p2’，⋯，pn’，则猜测有与p相当的属性p’。类比思维的再类比到一维空间:直线上有n个点,问:这n认识依据是客观事物或对象之间存在的普遍联系——个点将直线分成几部份？相似性。在教学中，可通过类比引入概念，导出公式,帮这时容易找到答案，n个点将直线分成n+1部份,助解题，培养学生探究发现的能力，在数学竞赛中，类记为f（n）=n+1.再考虑平面问题,一条直线分平面为比可拓宽思路，触发灵感，帮助寻求解题方法.本文对数两部份.设n条直线分平面为g（n）部分.再添一条直学教学中常采用的几种类比方法作一些探讨。线,与前n条直线相交,由f（n）=

3、n+1知要增加n+1部一、运用类比寻求解题思路分,所以g(n+1)=g(n)+n+1,g(1)=2,于是g(n+1)-g(n)=n+1,高维空间中比较复杂的问题，很多情况下可以通g(n)=g(1)+[g(2)-g(1)]+[g(3)-g(2)]+⋯[g(n)-g(n-1)]过类比到低维空间中的问题，通过对低维空间的问题12=(n+n+2)2分析求得解题思路，然后类比到高维空间中的问题求再考虑空间问题,设n个平面分空间为h(n)部分,得解题思路。再添一个平面则与前n个平面相交,由g(n)知要增加例1立体几何中有这样一道题：平面α和空间1212两点A、B、在平面α内找一点C，

4、使AC+BC最小。(n+n+2)部分.所以h(n+1)=h(n)+(n+n+2),h(1)=2,22分析先将问题类比到平面问题:“已知直线L和12于是h(n+1)-h(n)=(n+n+2),从而两点A、B，在直线L上找一点C，使AC+BC最小。”而2此问题可分四种不同的位置关系：①A、B在L上；h(n)=h(1)+[h(2)-h(1)]+[h(3)-h(2)]+⋯+[h(n)-h(n-1)]②一点在L上,一点在L外；③在L的不同的两侧；n-1n-1n-1n-1121=2+![h(i+1)-h(i)]=2+!i+!i+!1④在L的同侧分别找出所求的C点，此方法可完全类i=1

5、2i=12i=1i=1比到空间中的问题，从而可得出解题思路。13=(n+5n+6)例2空间有n个平面,每两个平面都相交,但6无三面共点.试问:这些平面将空间分成几部份？此问题一步一步地类比到最简单的问题,从而寻收稿日期：2008-05-26作者简介：陈质坚,(1965-)男,湖南平江人,平江一中一级教师，主要研究方向为中学数学教学。湖南民族职业学院学报116JOURNALOFHUNANVOCATIONALCOLLEGEFORNATIONALITIES2008年6月求到解题思路.n1n1n!(xk+)≥n(n+)二、运用类比引出新知识k=1xkn例3在讲四面体余弦定理时可利

6、用中的余弦定理利用二项式定理和均值不等式可证得多元形式222c=a+b-2abcosC确实成立。类比引出,将三角形与四面体类比，是否有类似的例5（87年上海赛题）T是锐角三角形，矩形结论呢？于是学生猜测有:R、S的一部分内接于T，设A(x)表图形x的面积，求2222So=Sa+Sb+Sc-?A(R)+A(S)的最大值。A(T)(So表与O相对的三角形的面积).但形式一时很难对此问题的解答并不难,如能及时引导学生进行具体写出，于是引导学生对其推导过程进行类比.先引伸探究将得出一些有趣的结果.首先将题中的锐角看余弦定理的证明:三角形换成一般的三角形,矩形换成平行四边形且增由射

7、影定理，有a=ccosB+bcosC,b=ccosA+acosC,加平行四边形的个数,将会得到如下的更深刻的结果:11所以cosB=(a-bcosC),cosA=(b-acosC).cc结论1设△ABC中有几个一组对边顺次相接且再代入c=acosB+bcosA,此组对边平行于底边BC的平行四边形,222整理即得c=a+b-2abcosC.记Si为第i个平行四边形的面积,则类似地在四面体O-ABC中，nn%Si≤S△ABC应用空间射影定理，有i=1n+1So=Sacosθao+Sbcosθbo+Sccosθco(1)此结论运用排