封闭曲线上一类含函数核奇异积分方程的Noether定理.pdf

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1、大庆石油学院学报第35卷第4期2011年8月JOURNALOFDAQINGPETROIEUMINSTITUTEVo1．35No．4Aug．2011封闭曲线上一类含函数核奇异积分方程的Noether定理曹丽霞，孙平，刘继颖(1．东北石油大学数学科学与技术学院，黑龙江大庆l63318；2．沈阳建筑大学理学院，辽宁沈阳l10168)摘要：给出一类含函数核的奇异积分方程，通过构造辅助函数，将这类含函数核的奇异积分方程转化为相应的双周期黎曼边值问题，进而讨论双周期黎曼边值问题的可解条件、一般解，得到封闭曲线情况下奇异积分方程的求解问题，给出其一般解、可解条件和可解性Noether理

2、论．关键词：函数核；奇异积分方程；可解条件；一般解；Noether理论中图分类号：O175．5文献标识码：A文章编号：1000—1891(2011)04—0105—05封闭曲线上的双周期黎曼边值问题、含柯西核及含Hilbert核的奇异积分方程的可解性理论在文献[1—4]已有讨论．笔者讨论含函数核的奇异积分方程的可解性理论，相关符号及含义见文献[1]．问题及引理定义设，∞为二复数，Ira(co／：)≠0，称以±±为顶点的平行四边形P为基本胞腔，称函数()一1／+∑El／(一n)+l／n+／]为Weierstrass一函数，其中力=2mco+2，∑表示对一切m，n一0，±1，

3、4-2，⋯相加，但m，”均为0除外．设L。是P内封闭光滑曲线，原点及。≠0位于L。所围内域Slm中．特征方程为K~9三n(toto)+㈤卜+。一zd—f(to。∈(1)其中函数口(￡)，6(f)，()∈H(Lo)已知，(￡)∈H(L。)未知，假定＆。()一6。(￡)≠0．方程式(1)的相联方程为K三a(to)(f。)圭丌lJIL6(f)()[。(一0)+。(￡。一o)]d￡===p(t0)，￡0∈Lo．(2)引理设L为L。经双周期延拓后诸合同曲线之并，“(￡)，6()，()均已经双周期延拓，设中()一J()[(￡一)+(—)]d￡，L，(3)又设G(￡)一Ea(t)-b(

4、t)]／Ea(t)+6(￡)]，g(￡)一_厂()／Ea(￡)4-b(t)~，则方程式(1)等价于DR。问题中。_(o)一G(t。)中(。)+g(t。)，t。∈L，(4)及附加条件1j，(￡)(￡)d一0·(5)收稿日期：2010—11—08；审稿人：刘成仕；编辑：关开澄作者简介：曹丽霞(1978一)，女，硕士，讲师，主要从事奇异积分方程方面的研究·1O5·大庆石油学院学报第35卷2011年2求解相应的DR。问题椭圆函数()一在s内有惟一的一阶零点一。而无极点，所以indf』0()一1．于是G*c+Gc～c在L。上指标为。．令cz一喜；～则cz，双周期分区解析，在一0至多

5、有阶，在2一z。至多是一阶的·令G*一J1nG*(￡)出，g*()一g()一()，x()=er(Z)，其中r()一j1nG*()}(一)d￡，L．x*(z)一般不是双周期的：x(+2coi)=X(z)·e，一1，2．这时式(4)成为垂(￡)一G()l*()+g()，tEL．(6)情形1G等于某个周期．令h()=a(z)／a(z—G)，X(z)一X(2)()，则x()一G()x__()，且X()是双周期的．这时式(6)成为X()一X1(+，㈩￡)。X()’易见F1()一(z)／X()分区解析、双周期，在z=0至多为阶，===。至多是一阶极点．令X()fh1()e“(z)，z

6、∈～S’。；，、一【h1()e“，z∈S·(1)>0时，有解)一一)～)]d汁+c-Z"o)(z)~clz)+．．·--C~I(，(8)其中C。，C，c”，一为任意复常数．(2)一0时，当且仅当满足条件(为保证中(。)有限)o㈩27ciJl-nX(￡)⋯时有解，一般解为中()一(—z)+≥x(z)(c。为任意复常数)．(10)(3)<0时，当且仅当满足可解条件(￡)d￡一0，—o，1，⋯，～一1(()为1而不是())(11)时，有惟一解)一『L(12)情形2G不等于任何周期．令Go为P中或其边界上与G周期合同者，故G。≠0．令h(z)一(+孚)(z一譬)，xz()一z(z

7、)x()(如此定义z()可确保解()的自由度与情形1一致，进一步才可得Noether定理)．X()是双周期的，且有x()一G()x()．式(6)成为Xj()一X(f)+’X(f)，(一13一)这时F。()一()／x(z)是双周期、分区解析的，在一0至多为阶，在—。至多有一阶极点，在一一譬处至多有一阶极点，一Go为其一阶零点．令xcz一：；：’喜第4期曹丽霞等：封闭曲线上一类含函数核奇异积分方程的Noether定理)一⋯)z～)]d川'(Z-Zo)+6u(+譬)+6m()+6()+⋯+6”(z))，(14)其中b。，bI，bⅡ，