微分方程公式总结.pdf

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1、第四章微分方程g(y)dyf(x)dx1.可分离变量的微分方程初值问题yxx0y0yx的解为g(y)dyf(x)dxy0x0dy2.一阶线性微分方程P(x)yQ(x)的通解公式为dxP(x)dxP(x)dxye(Q(x)edxC)dyP(x)yQ(x)3.初值问题dx的解为yxx0y0xxP(x)dxxx0P(x)dxx0ye(Q(x)edxy0)x0dyyydydu4.齐次型方程()uyux于是有uxdxxxdxdxdu便得到ux(u)这是一个可分离变量的微分方程。dxdudx分离变量后积分(u)uxdyaxbyca1

2、b15.可化为齐次型的方程其中dxa1xb1yc1ab当cc10时方程是齐次型的，否则是非齐次型的。在非齐次型的情形下，可用如下的代换把它化为齐次型的。作代换xXh,yYkdYaXbY(ahbkc)ahbkc0再令可定出h和kdXa1Xb1Y(a1hb1kc1)a1hb1kc10dy6.伯努利方程P(x)yQ(x)y(0,1)dx1dzdy作代换zy则(1)y，于是有dxdxdz(1)P(x)z(1)Q(x)，这是一阶线性方程。dx7.可降阶的二阶微分方程(1)y''f(x)dp(2)y''f(x,y')设y'p那么y'

3、'p'从而方程就化为dxp'f(x,p)这是一个关于变量x，p的一阶微分方程。如果我们求出它的通解为y'p(x,C1)，那么再通过积分，可得原方程的通解y(x,C1)dxC2dpdpdydp(3)y''f(y,y')设y'py''pdxdydxdydp从而方程就化为pf(y,p)这是一个关于变量y，p的一阶微分dy方程。如果我们求出它的通解y'p(x,C1)那么分离变量并两端dy积分，可得原方程的通解为xC2(y,C1)