梁的平面弯曲微分方程公式

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1、资料第九章梁的平面弯曲与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的基本变形。承受弯曲作用的杆，称之为梁。本章研究梁的应力和变形。工程中最常见的梁，可以分为三类，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。MqB(a)简支梁AFB(b)外伸梁AFC(c)悬臂梁AFB图9.1梁的分类由一端为固定铰，另一端为滚动铰链支承的梁，称为简支梁；若固定铰、滚动铰支承位置不在梁的端点，则称为外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；一端为固定端，另一端自由的梁，则称为悬臂梁。分别如图9.1(a)、(b)、(c)所示。在平面力系的作用下，上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个，故约束力可以由静力平

2、衡方程完全确定，均为静定梁。工程中常见的梁，其横截面一般至少有一个对称轴，如图10.2(a)所示。此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图10.2(b)。如果梁上的载荷全部作用于此纵向对称面内，则称平面弯曲梁。平面弯曲梁变形后，梁的轴线将在此纵向对称面平面内弯曲成一条曲线，此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。.资料这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载荷平图9.2平面弯曲梁矩形截面梯形截面圆形截面工字形截面槽形截面纵向对称面挠曲线梁轴线(a)(b)面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲，称为平面弯曲。平面弯曲是最基本的弯曲问题，本

3、章仅限于讨论平面弯曲。与前面研究拉压、扭转问题一样，先研究梁的内力，再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物理关系研究梁横截面上的应力，进而研究梁的变形，最后讨论梁的强度与刚度。§9.1用截面法作梁的内力图如第四章所述，用截面法求构件各截面内力的一般步骤是：先求出约束力，再用截面法将构件截开，取其一部分作为研究对象，画出该研究对象的受力图；截面上的内力按正向假设，由平衡方程求解。在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构件内力的一般方法，还给出了构件横截面上内力的符号规定。下面将通过若干例题，进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。例9.1悬臂梁受力如图9.

4、3(a)所示，求各截面内力并作内力图。解：1）求固定端约束力。.资料图9.3例9.1图ABxlMAcMFQFAyAxMAxFQMoo+_FFl(a)(b)(c)剪力图(d)弯矩图FAyF固定端A处有三个约束力，但因梁上无x方向载荷作用，故FAx=0；只有FAy、MA如图所示。列平衡方程有：SFy=FAy-F=0SMA(F)=MA-Fl=0得到：FAy=F；MA=Fl2）求截面内力。在距A为x处将梁截断，取左段研究，截面内力按正向假设，如图9.3(b)所示。在0£x

5、l-x)注意，在x=l的右端B点，因为梁处于平衡，B点右边截面之内力均为零。梁二端点外内力为零，以后将不再赘述。3)画内力图。在0£x£l内，剪力FQºF，剪力图为水平线，如图9.3(c)所示。弯矩M随截面位置线性变化；当x=0时，M=-Fl；x=l时，M=0；弯矩图为连接此二点的直线，如图9.3(d)所示。此悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。BAFFFAyFByaabcM1FQ1FAyAx1(a)(b)例9.2求图9.4所示简支梁各截面内力并作内力图。解：1）求约束力。注意固定铰A处FAx=0，故梁AB受力如图所示。列平衡方程有：SMA(F)=FBy(2a+b)-Fa-

6、F(a+b)=0.资料cM2FQ22FAyAx2F(c)图9.4例9.2图FQ(f)(e)cM3FQ3FAyAx3F(d)FMooxx++-SFy=FAy+FBy-2F=0得到：FAy=FBy=F；2）求截面内力。0£x1

7、M3=FAyx3-F(x3-a)-F(x3-a-b)=F(2a+b)-Fx3注意在x=2a+b的右端B点，截面之内力（FQ、M）必然回至零。3)画内力图。剪力图如图9.4(e)所示。注意在a£x£a+b段内，FQº0。在0£x