梁的平面弯曲与微分方程公式

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1、-第九章梁的平面弯曲与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的基本变形。承受弯曲作用的杆，称之为梁。本章研究梁的应力和变形。工程中最常见的梁，可以分为三类，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。MqB(a)简支梁AFB(b)外伸梁AFC(c)悬臂梁AFB图9.1梁的分类由一端为固定铰，另一端为滚动铰链支承的梁，称为简支梁；若固定铰、滚动铰支承位置不在梁的端点，则称为外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；一端为固定端，另一端自由的梁，则称为悬臂梁。分别如图9.1(a)、(b)、(c)所示。在平面力系的作用下

2、，上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个，故约束力可以由静力平衡方程完全确定，均为静定梁。工程中常见的梁，其横截面一般至少有一个对称轴，如图10.2(a)所示。此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图10.2(b)。如果梁上的载荷全部作用于此纵向对称面内，则称平面弯曲梁。平面弯曲梁变形后，梁的轴线将在此纵向对称面平面内弯曲成一条曲线，此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。----这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载荷平图9.2平面弯曲梁矩形截面梯形截面圆形截

3、面工字形截面槽形截面纵向对称面挠曲线梁轴线(a)(b)面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲，称为平面弯曲。平面弯曲是最基本的弯曲问题，本章仅限于讨论平面弯曲。与前面研究拉压、扭转问题一样，先研究梁的内力，再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物理关系研究梁横截面上的应力，进而研究梁的变形，最后讨论梁的强度与刚度。§9.1用截面法作梁的内力图如第四章所述，用截面法求构件各截面内力的一般步骤是：先求出约束力，再用截面法将构件截开，取其一部分作为研究对象，画出该研究对象的受力图；截面上的内力按正向假设，由

4、平衡方程求解。在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构件内力的一般方法，还给出了构件横截面上内力的符号规定。下面将通过若干例题，进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。例9.1悬臂梁受力如图9.3(a)所示，求各截面内力并作内力图。解：1）求固定端约束力。----图9.3例9.1图ABxlMAcMFQFAyAxMAxFQMoo+_FFl(a)(b)(c)剪力图(d)弯矩图FAyF固定端A处有三个约束力，但因梁上无x方向载荷作用，故FAx=0；只有FAy、MA如图所示。列平衡方程有：SFy=F

5、Ay-F=0SMA(F)=MA-Fl=0得到：FAy=F；MA=Fl2）求截面内力。在距A为x处将梁截断，取左段研究，截面内力按正向假设，如图9.3(b)所示。在0£x

6、M=-Fl；x=l时，M=0；弯矩图为连接此二点的直线，如图9.3(d)所示。此悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。BAFFFAyFByaabcM1FQ1FAyAx1(a)(b)例9.2求图9.4所示简支梁各截面内力并作内力图。解：1）求约束力。注意固定铰A处FAx=0，故梁AB受力如图所示。列平衡方程有：SMA(F)=FBy(2a+b)-Fa-F(a+b)=0----cM2FQ22FAyAx2F(c)图9.4例9.2图FQ(f)(e)cM3FQ3FAyAx3F(d)FMooxx++-SFy=FAy+FBy

7、-2F=0得到：FAy=FBy=F；2）求截面内力。0£x1

8、的右端B点，截面之内力（FQ、M）必然回至零。3)画内力图。剪力图如图9.4(e)所示。注意在a£x£a+b段内，FQº0。在0£x