清华大学线性代数考试真题1.pdf

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1、几何与代数讨论课（五）（线性变换）Exercise1判断下面所定义的映射哪些是线性变换，哪些不是？(1)在F3上，¾((x;x;x)T)=(x+x+x;x+x;x)T；123123231(2)在F3上，¾((x;x;x)T)=(x2;x¡x;0)T；123123(3)在Fn[x]上，¾(f(x))=x¢f(x)；(4)在Mn(F)上，¾(X)=BXC，其中B;C2Mn(F)是两个确定的矩阵；(5)把复数域C看作C上的线性空间，¾(®)=¹®，®2C，®¹是®的共轭复数.Exercise2举例说明(1)

2、¾;¿2L(V)，¾¿=0不一定推出¾=0或¿=0；(2)¾¿6=¿¾:Exercise3在R[x]上，定义两个线性变换：¾(f(x))=f0(x);¿(f(x))=xf(x)证明：(1)¿¾¡¾¿="，"是单位变换；(2)(¿¾)2=¿2¾2+¿¾.问：¾是不是R[x]上的幂零变换？是不是Rn[x]上的幂零变换？Exercise4在F3中，设线性变换¾关于基®=(¡1;1;1)T，®=12(1;0;¡1)T，®=(0;1;1)T的矩阵是301101A=@110A;¡121(1)求¾关于基"=(1;0

3、;0)T，"=(0;1;0)T，"=(0;0;1)T的矩阵；123(2)设向量®=®1+6®2¡®3，¯="1¡"2+"3，求¾(®);¾(¯)关于基®1;®2;®3的坐标．Exercise5设¾是F上n维线性空间V上的线性变换，®1;®2;¢¢¢;®n是V的一个基，则：Im(¾)=L(¾(®1);¾(®2);¢¢¢;¾(®n))问：(1)¾(®1);¾(®2);¢¢¢;¾(®n)是不是Im(¾)的基？(2)¾(®1);¾(®2);¢¢¢;¾(®n)½是Imµ(¾)的基的充¶分¯必要条件¾是什么？x1

4、1x12¯¯Exercise6设线性空间V=X=¯xij2R，定义x21x22µ¶µ¶1112¾(X)=X:11¡111(1)试证明¾是V的线性变换.(2)求Im(¾)和ker(¾)的基和维数.Exercise7在R3上，下列子空间是否是所给线性变换¾的不变子空间？¯(1)W=f(a;a;0)T¯a;a2Rg;¾((a;a;a)T)=(a;a;a)T;11212123213¯(2)W=f(0;a;0)T¯a2Rg;¾((a;a;a)T)=(a;0;0)T:2221232Exercise8设¾是n维线性

5、空间V的线性变换，且¾n¡16=0，¾n=0，试证：(1)¾在某个基下的矩阵是0101B..CB0.CBCB....CB..CBCB..C@.1A0(2)若V0是¾的一个不变子空间，且a1®1+a2®2+¢¢¢+ak®k2V0;1·k·n;ak6=0，则®1;®2;¢¢¢;®k2V0.(3)f0g;L(®1);L(®1;®2);¢¢¢;L(®1;®2;¢¢¢;®n¡1);V是V的全部¾的不变子空间.2几何与代数讨论课（五）（线性变换）Exercise1判断下面所定义的映射哪些是线性变换，哪些不是？(1

6、)在F3上，¾((x;x;x)T)=(x+x+x;x+x;x)T；123123231(2)在F3上，¾((x;x;x)T)=(x2;x¡x;0)T；123123(3)在Fn[x]上，¾(f(x))=x¢f(x)；(4)在Mn(F)上，¾(X)=BXC，其中B;C2Mn(F)是两个确定的矩阵；(5)把复数域C看作C上的线性空间，¾(®)=¹®，®2C，®¹是®的共轭复数.解解解：：：(1)是.符合线性变换的定义.(2)否.因为x2+y26=(x+y)2.反例：¾((1;0;0)T+(1;0;0)T)=不

7、满足线性性.¾((2;0;0)T)=(4;0;0)T而¾((1;0;0)T)+¾((1;0;0)T)=(2;0;0)T.(3)否.因为x¢f(x)2=Fn[x].不满足封闭性.(4)是.符合线性变换的定义.(5)否.反例：i¢¾(i)=1而¾(i¢i)=¡1.不满足数乘封闭性.Exercise2举例说明(1)¾;¿2L(V)，¾¿=0不一定推出¾=0或¿=0；(2)¾¿6=¿¾:解解解：：：(1)令V=R2，设¾((x;x)T)=(x;0)T，¿((x;x)T)=(0;x)T，121122则¾6=0;

8、¿6=0.但¾¿=0.(2)令V=R2，设¾((x;x)T)=(x;0)T，¿((x;x)T)=(x;x+1211211x)T，则¾¿6=¿¾.2Exercise3在R[x]上，定义两个线性变换：¾(f(x))=f0(x);¿(f(x))=xf(x)证明：(1)¿¾¡¾¿="，"是单位变换；(2)(¿¾)2=¿2¾2+¿¾.问：¾是不是R[x]上的幂零变换？是不是Rn[x]上的幂零变换？证证证明明明：：：(1)8f2R[x]¾¿(f(x))=¾(xf(x