4.1.2圆的一般方程.pdf

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1、4.1.2圆的一般方程（一）教学目标1．知识与技能（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径，掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件.（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程.（3）培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.2．过程与方法通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力.3．情感态度与价值观渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质

2、，激励学生创新，勇于探索.（二）教学重点、难点教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F.教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用.（三）教学过程教学教学内容师生互动设计意图环节问题：求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显课题然有些麻烦，得用直线的知识解决又有设疑激趣让学生带着问题进行思考引入其简单的局限性，那么这个问题有没有导入课题.其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一

3、般方程.请同学们写出圆的标准方程：(x–整个探索过程由学生完通过概念a)2+(y–b)2=r2，圆心(a，b)，半径r.成，教师只做引导，得出圆的学生对圆形成把圆的标准方程展开，并整理：一般方程后再启发学生归纳.的一般方与深x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0.圆的一般方程的特点：程的探究，化取D=–2a，E=–2b，F=a2+b2–（1）①x2和y2的系数相使学生亲r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0①同，不等于0.身体会圆这个方程是圆的方程.②没有xy这样的二次项.的一般方反过来给出一个形如x2+y2+

4、Dx（2）圆的一般方程中有三程的特点，+Ey+F=0的方程，它表示的曲线一个特定的系数D、E、F，因此及二元二定是圆吗？只要求出这三个系数，圆的方次方程表把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得程就确定了.示圆所满DED2E24F（3）与圆的标准方程相比足的条件.22(x)(y)②(配224较，它是一种特殊的二元二次方过程由学生去完成)这个方程是不是方程，代数特征明显，圆的标表示圆？准方程则指出了圆心坐标与半（1）当D2+E2–4F＞0时，方程径大小，几何特征较明显.DE②表示以(,)为圆心，22122D

5、E4F为半径的圆；2（2）当D2+E2–4F=0时，方程DE只有实数解x,y，即只表示22DE一个点(,)；22（3）当D2+E2–4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形.综上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆.只有当D2+E2–4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圆的方程称为圆的一般方程.例1判断下列二元二次方程是否学生自己分析探求解决途通过表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆径：①用配方法将其变形化成例题讲解应用心及半径.圆

6、的标准形式.②运用圆的一使学生理举例（1）4x2+4y2–4x+12y+9=0般方程的判断方法求解.但是，解圆的一（2）4x2+4y2–4x+12y+11=0要注意对于（1）4x2+4y2–4x般方程的解析：（1）将原方程变为+12y+9=0来说，这里的D=代数特征99及与标准x2+y2–x+3y+=0–1，E=3，F而不是D=44方程的相9–4，E=12，F=9.互转化更D=–1，E=3，F=.4进一步培∵D2+E2–4F=1＞0养学生探13索发现及∴此方程表示圆，圆心（，），22分析解决1问题的能半径r=.2力

7、.（2）将原方程化为11x2+y2–x+3y+=0411D=–1，E=3，F=.4D2+E2–4F=–1＜0∴此方程不表示圆.例2求过三点A(0，0)，B(1，1)，例2讲完后C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半学生讨论交流，归纳得出径长和圆心坐标.使用待定系数法的一般步骤：分析：据已知条件，很难直接写出1．根据题设，选择标准方圆的标准方程，而圆的一般方程则需确程或一般方程.定三个系数，而条件恰给出三点坐标，2．根据条件列出关于a、不妨试着先写出圆的一般方程.b、r或D、E、F的方程组；解：设所求的圆的方程为：x2+

8、y2+3．解出a、b、r或D、E、Dx+Ey+F=0F，代入标准方程或一般方程.∵A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D、E、F的三元一次方程组：F0即DEF204D2EF200解此方程组，可得：D=–8，E=6，F=0∴所求