华东理工大学2016学年第一学期高等数学(上)期末考试(含答案).pdf

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1、华东理工大学2016-2017学年第一学期《高等数学（上）》课程期末考试试卷௫ିୱ୧୬௫1.（5分）计算极限lim．௫→଴௫యమ௡ଶ௡ି௡2.（5分）计算极限limቀቁ．௡→ஶଶ௡మାଵ3.（6分）记曲线3?+2?−2?ଶsin?=2与?轴交点为?，求曲线在?点处的法线方程．?=ln(1+?ଶ)+?ௗ௬4.（6分）设൜，求ቚ．?=arctan?ௗ௫௧ୀଵ5.（6分）求函数?(?)=(?−1)?ି௫在区间[0,+∞)上的最大值．௫ାଵ6.（4分）若?(?)=భ间断点的个数为?，可去间断点的个数为?，则ଵି

2、మA.?=2,?=1B.?=2,?=2C.?=3,?=1D.?=3,?=27.（4分）若?ᇱ(?)=0，则A.?(?)−?(?)=?(?−?)B.?(?)−?(?)~?−?C.?−?=?[?(?)−?(?)]D.以上都不对8.（4分）设?(?)=

3、sin??

4、，则A.?ିᇱ(1)=?,?ାᇱ(1)=−?B.?ିᇱ(1)=−?,?ାᇱ(1)=?C.?ିᇱ(1)=?ାᇱ(1)=?D.?ିᇱ(1)=?ାᇱ(1)=−?9.（4分）若∫?(?)??=cos(?ଶ)+?，则?ᇱ൫√?൯=A.−1B.0C.−2√?D

5、.4?10.（4分）（8、9学分）“lim?(?)=?”是“lim?(2?)=?”的௡→ାஶ௡→ାஶA.充分条件B.必要条件，非充分条件C.充分条件，非必要条件D.既不是必要条件，也不是充分条件(ିଵ)೙√௡ାଵ（11学分）级数∑ஶ条件收敛的充要条件是௡ୀଵ௡ഀଵଷଷA.0

6、=∫??，计算?ᇱ(3)．଴ඥଵା√௧ଵା௫14.（6分）（8学分）求函数ln带佩亚诺型余项的5阶麦克劳林公式．ଵି௫௘మ୪୬（9、11学分）计算定积分∫??．௘(ଵି௫)మଵ15.（6分）（8、9学分）计算不定积分∫??．௫మ(ଵା௫)ஶ(௡!)మ（11学分）判断级数∑௡ୀଵ的敛散性．(ଶ௡)!16.（8分）（8、9学分）往半径为1米，深为2米的圆柱形容器内注水，注水的速度为ଵଷ?/?．当液面高度达到容器一半深度时，求液面升高的速度．ଶ଴଴（11学分）半径为1米，深为2米的圆锥形容器，其中盛满了水，现

7、在要将其中的水从上口全部抽尽，问需克服重力做功多少？（其中?=9.8?/?ଶ，水的密度为?=1000??/?ଷ，答案保留?,?,?）．௫య17.（8分）（8、9学分）设?>0，试证明0

8、ିୱ୧୬ଵିୡ୭ୱమଵ1.lim=lim（3分）=lim=（2分）．௫→଴௫య௫→଴ଷ௫మ௫→଴ଷ௫మ଺మ೙మశభ(ష೙షభ)೙ଶ௡మି௡௡ି௡ିଵ∙భష೙షభమ೙మశభି2.limቀቁ=limቀ1+ቁ（3分）=?మ（2分）．௡→ஶଶ௡మାଵ௡→ஶଶ௡మାଵ3.首先容易求得?=(0,1)．对3?+2?−2?ଶsin?=2关于?求导，有3+6?ଶ?ᇱ−4?sin?−2?ଶcos?∙?ᇱ=0，?ᇱ=ଷିସ௫ୱ୧୬௬，故?ᇱ(0)=−ଵ．（4分）ଶ௫మୡ୭ୱ௬ିమଶ所求法线方程为?=2?+1（2分）．భௗ௬భ

9、శ೟మଵௗ௬ଵ4.ௗ௫=మ೟ାଵ=(ଵା௧)మ（4分），所以ௗ௫ቚ௧ୀଵ=ସ（2分）．భశ೟మ5.?ᇱ(?)=?ି௫−(?−1)?ି௫=(2−?)?ି௫，由?ᇱ(?)=0得到唯一驻点?=2．（3分）当0≤?≤2时，?ᇱ(?)>0，函数单调递增；当?>2时，?ᇱ(?)<0，函数单调递减．因此，当?=2时函数取到最大值，最大值为?(2)=?ିଶ．（3分）6-10DABDC11.∫cosଷ???=∫(1−sinଶ?)?sin?（3分）=sin?−sinଷ?+?．（3分）12.（8学分）∫?ଷ?ି௫మ??=−ଵ

10、∫?ଶ??ି௫మ=−ଵ?ଶ?ି௫మ−∫?ି௫మ??ଶ൧（3分）ଶଶ=−ଵ[?ଶ?ି௫మ+?ି௫మ+?]（3分）．ଶଵାஶଶି௫మଵଶି௫మାஶାஶି௫మଶ（9、11学分）原式=−∫???=−[??ห−∫???]（3分）ଶ଴ଶ଴଴ଵାஶି௫మଶଵି௫మାஶଵ=∫???=−?ห=（3分）．ଶ଴ଶ଴ଶᇱ(?)=ଶ௫ᇱ(3)=3（2分）．13.?（4分），故?ඥଵା

11、௫

12、௫మ௫య௫ర௫ఱହ14.（8学分）ln(1+?)=?−+−++?(?)，（2分