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1、山东科技大学高等代数课程高等代数填空题集锦1．最小的数环是{0}，最小的数域是{0,1}。2．一非空数集P,包含0和1,且对加减乘除四种运算封闭，则其为（数域）。3．设f是实数域上的映射，f:x→kx(∀x∈R)，若f(4)12=，则f(5)−=-15。4．设fxgx(),()∈Fx[]，若∂°(())fx=0,∂°(())gx=m，则∂°(()fxgx⋅())=m。5.若gxfxhxfx()(),()()，并且(g,f)=1，则gxhxfx()()()。6.设gxfx()()，则fx()与gx()的最大公因式为gx()。7.多项式
2、fx()、gx()互素的充要条件是存在多项式ux()、vx()使得µ(x)f(x)+ν(x)g(x)=18.设d(x)为f(x)，g(x)的一个最大公因式,则d(x)与(f(x),g(x))的关系d(x)=(f(x),g(x))。9.设px()是多项式fx()的一个kk(≥1)重因式，那么px()是fx()的导数的一个k−1重因式。'10.多项式fx()没有重因式的充要条件是f(x)与f(x)互素。11.按自然数从小到大为标准次序，排列2431的反序数为4。12.设n级排列ii⋯i的反数的反序数为k，则τ(ii⋯ii)=。12nnn
3、−121n(1+n)n(1+n)【解】τ(ii⋯ii)+τ(ii⋯i)=，所以τ(ii⋯ii)=−k。nn−12112nnn−1212213.当k=5，ℓ=4时，5阶行列式D的项aaaaa取“负”号。122k314ℓ53【解】aaaaa，τ(2,k,1,l,3)为奇数；所以k,l只能取4与5，当k=4,l=5时，122k314ℓ53τ(2,k,1,l,3)=4，所以k=5,l=4。0000x0002x014.003x00=−15，x=_____。0400050000第1页共8页山东科技大学高等代数课程0000x0002x05【解】由
4、行列式的性质得003x00=−120x，所以易得x。040005000000⋯0100⋯20n15.D=⋯⋯⋯⋯⋯=(-1)n!。n0n−1⋯00n0⋯00【解】此题容易，关键在于确定正负号。⎡10⎤⎡102⎤⎢⎥16．A=⎢⎥,B=01，则AB=。013⎢⎥⎣⎦⎢⎣45⎥⎦⎡10⎤⎡102⎤⎢⎥⎡910⎤⎢⎥⎢01⎥=⎢⎥【解】AB=⎣013⎦⎣1216⎦。⎢⎣45⎥⎦12a17.设行列式203中，余子式A=3，则a＝_2.5_。2136912a18.设行列式203中，余子式M=3，则a＝_2__。2236911119.行列式12
5、3的余子式M+M+M的值为16。212223149111111【解】M+M+M++=16。212223491914∗20.设矩阵A可逆，且A=1，则A的伴随矩阵A的逆矩阵为A。*−1A【解】由A=，所以A*−1*−1−1−11A=AA,所以(A)=(AA)=AA,即为A。第2页共8页山东科技大学高等代数课程22221．设A、B为n阶方阵，则(AB+)=A+2ABB+的充要条件是AB=BA。22．一个n级矩阵A的行（或列）向量组线性无关，则A的秩为n。⎛1−112⎞⎜⎟23.设矩阵A=3λ−12，且RA()=2,则λ=(),µ=()。
6、⎜⎟⎜⎝53µ6⎟⎠⎛1−112⎞⎜⎟【解】A=3λ−12，对其进行初等行变换得⎜⎟⎜⎝53µ6⎟⎠⎡1-112⎤⎡1-112⎤⎢⎥⎢⎥3λ-12=0λ+3-4-4，又因为RA()=2，所以λ=(5),µ=(1)。⎢⎥⎢⎥⎢⎣53µ6⎥⎦⎢⎣08µ-5-4⎥⎦24.设A为n阶矩阵，且A=1,则R(A)=_n_。【解】因为A=1≠0，所以A满秩。⎛21⎞⎡3-1⎤−1525.A=⎜⎟,则A=⎢⎥。⎝53⎠⎢-1⎥⎣2⎦⎡2110⎤⎡2110⎤⎡206-2⎤−1⎡3-1⎤【解】⎢⎥=⎢⎥=⎢⎥，所以A=⎢-51⎥。⎣5301⎦⎣01-5
7、2⎦⎣01-52⎦⎢⎣2⎥⎦⎡11⎤⎛k01⎞⎢0−⎥kk⎜⎟−1⎢⎥26.已知A=01−1,其中k≠0，则A=011。⎜⎟⎢⎥⎜⎝001⎟⎠⎢001⎥⎢⎣⎥⎦⎡11⎤⎡k01100⎤⎡k0010−1⎤⎢0−⎥kk⎢⎥⎢⎥−1⎢⎥【解】01−1010=010011，所以A=011。⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣001001⎥⎦⎢⎣001001⎥⎦⎢001⎥⎢⎣⎥⎦T27.若A为n级实对称阵，并且AA=O，则A=0。−11∗28.设A为5阶方阵，且detA=3，则detA=，det(AA′)=9，A的伴随矩阵A3∗的行列式det(A)=81。*82
8、9.设A为4阶矩阵，且A=2,则2AA=___2___。第3页共8页山东科技大学高等代数课程*−1A∗n−1*nn【解】由A=得，A=A，所以2AA=2AA−1∗30.A为3阶矩阵，A=0.5，则(2A)−5A=（-4）。*−1A−1
