复数的矩阵表示.pdf

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1、6—38数学教学2009年第6期复数的矩阵表示200241华东师范大学数学系林磊我们知道，由于矩阵在数学及其相关学科中所以，M关于减法运算也是封闭的．即有着越来越多的用处，因此它已经成为现代数学Z—Z=Z+(一z)中的一个重要工具．正是考虑到这一点，我们的=：=：(I、a6一-_a6，I一。0(b一—-。0b，)∈M．’许多新编高中数学教材已经或多或少地增加了如果我们通过映射P将复数看成与矩阵等同，矩阵理论初步介绍的内容，有些还提到了矩阵的那么这种等同还是保持加法运算的．这是因为我各种应用，如：矩阵在几何变换中的应用等．本们很容易看出，如果Z=a+bq(其中a，b是文试图从如何用实

2、矩阵来表示复数这一角度介实数)也是任意复数，那么绍矩阵的另一类应用，从而进一步展示出矩阵理p(z+Z)：Z+Z论的重要性．一=p(z)+p(z，))Vz、Z∈c．、复数的矩阵表示及基本运算也就是说，如果我们将M中的矩阵看成是复数，1．1复数的矩阵表示那么就可以用矩阵的加法来定义复数的加法．也下面我们就来考虑如何用实系数矩阵来表示复数，即复数的矩阵表示．首先我们来考虑全可以用矩阵的减法来定义复数的减法．体2阶实系数方阵集合中的一个子集：1．3乘法运算下面我们来考虑集合M中两个矩阵的乘法．M=()∈R)．设Zl=al+bti，Z2=a2+62i是复数，其中也就是说，M是由主对角线元相同

3、、而次对角线al、bl、a2、b2都是实数．又设上元互为相反数的所有2阶实方阵组成的集合．对任意的复数Z：a+bi，其中a、b是实()，Z2=(a⋯2-b2)数，我们可以构造一个2阶实系数的方阵Z=分别是Zl，z2在P下的像，那么f一D1，显然矩阵z∈M．我们说JD：一=()(乏)Z是复数集C到矩阵集合M上的一一对应，或双射(即既是单射又是满射)．=(a2lab2l+十-abtb2一a(al2ab2l一+bailbb22)／，∈一M．。1．2加法运算与减法运算因此，M关于矩阵的乘法运算是封闭的，并我们知道形状相同的矩阵之间可以进行加且复数与矩阵的等同还保持乘法运算，即法运算．对于集

4、合M中的任意两个矩阵Z=p(zlz2)=Z1z2=p(1)p(2)．(a6)以及(有1．4标量乘法运算回忆一下数与矩阵A做标量乘法(或称数Z+ZI=(搿一)乘)，所得矩阵尼A是将矩阵的每个元都乘以数k．这说明集合M关于矩阵的加法运算是封闭的，于，，、是集合M中的任意两个矩阵可以做加法运算，所对于任意实数以及矩阵z：f一D1得到的和仍在M中．又由于∈M，我们有一一Z：=fI一?．一【、一DJ1l∈M，z：(苫)=(苫一七(k口b)∈M．2009年第6期数学教学6—39于是，M关于实数与矩阵的标量乘法运算封闭，律，因此这一顺序的变化是无关紧要的．但是如且容易验证：果我们将复数集看成哈密

5、顿四元数集(它同样可p(kz)=kp(z)，k∈R，∈C．等同于2阶方阵集的子集)的子集，那么这一等式因此，复数与矩阵的等同也保持标量乘法运算．更加合理(因为它在哈密顿四元数集中也成立)．我们知道，全体2阶实系数方阵集合是实2。2对称矩阵与反对称矩阵数域上的线性空间，而上面的讨论说明：集合M利用矩阵的转置运算，我们可以定义对称矩是的线性子空间，因而也是实数域上的线性空阵与反对称矩阵．一个矩阵如果满足。r间．=A，则称矩阵为对称矩阵；如果矩阵满足二、矩阵的其他运算与复数运算的关系A1’：一A，则称矩阵为反对称矩阵．矩阵的2．1矩阵的转置与复数的共轭这一对概念与函数中的偶函数与奇函数这

6、对概我们来回忆一下矩阵的转置运算：设A=念有许多类似之处，甚至它们的性质也有许多相(aij)是一个m×n矩阵，那么它的转置A1‘是一似之处．我们知道不管是偶函数还是奇函数，它个礼×仇矩阵，且它的第i行第J列的元就等于们的定义域一定关于坐标原点对称，而与之相对中第J行第i列的元n，￡．例如：应，一个矩阵不管是对称矩阵还是反对称矩阵，设=(i_01Ij么它们一定是方矩阵．而所谓对称矩阵就是它各位置上的元关于主对角线是对称的，而反对称矩／，21、T：I一101．阵就是关于主对角线对称位置的元成互为相反37／『数．特别地，反对称矩阵主对角线上的元均为0．对于Z∈M，容易看出是对称矩阵当且设

7、z：fa-b1∈g，那么仅当Z具有(：)的形式；而z是反对称矩阵＼ua／zT=(三三)=(三一)∈M．／n一^＼当且仅当z具有l：}的形式．因此在复数于是，集合M关于转置运算是封闭的．并且，若的矩阵表示中，实数与对称矩阵相对应，而纯虚设对应的复数为=a+bi，那么Z。r对应的复数与非零的反对称矩阵相对应．数就是a—bi：，即()=T=JD()T．2．3方矩阵的分解也就是说，复数的共轭运算对应于矩阵的转置．我们先来回顾一下函数的一个重要性质：根据复数的矩阵表示以及矩阵转