从_勾股容方_到均值不等式.pdf

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1、２０１５年第５４卷第２期数学通报７从“勾股容方”到均值不等式汪晓勤（华东师范大学数学系２００２４１）均值不等式是中学数学的重要主题，迄今为止，人们已经给出了很多种证明或推导方法，人们耳熟能详的弦图模型和半圆模型实源于古代中国和希腊的数学史．展卷阅读古代数学文献，我们常常会有新的收获．本文从《九章算术》“勾股容方”问题出发，对均值不等式进行了粗浅的探究．图２今天，人们常常顺应式地将“勾股容方”问题１勾股容方运用于初中数学教学中．如，用相似三角形性质汉代数学名著《九章算术》勾股章中设题：“今解决“在一块直角三角

2、形空地上设计一座正方形有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”解法是：花坛”之类的实际问题．但该历史名题的教育价“并勾股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一［１］值远不止于此．事实上，刘徽的勾股容方图也是步．”设直角三角形的直角边为ａ和ｂ，则上述均值不等式的几何模型．解法相当于说，与直角三角形具有公共直角的内２相似观点接正方形边长为如图３，在矩形ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝ａ，ＡＢ＝ｂ，ａａｂｄ＝ａ＋ｂ＜ｂ．正方形ＧＢＥＦ和ＨＩＤＪ分别内接于直角三角形ＡＢＣ和ＣＤＡ，ＪＨ的延长线交ＧＦ于Ｋ．注公元２６３年，布衣数学家

3、刘徽为《九章算术》作注．在注中，他利用出入相补原理证明了上述意到ＡＨ：ＣＨ＝ＣＦ：ＡＦ＝ａ：ｂ，故知ＡＨ＜ＣＨ，公式，如图１所示．用对角线将长和宽分别为ｂＣＦ＜ＡＦ．因此，当ａ＜ｂ时，直角三角形ＨＫＦ总和ａ的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角是存在的．于是，形分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到图２所示的矩形，该矩形的长为ａ＋ｂ，宽即为内接正方形的边长ｄ，故有ａｂ＝ｄ（ａ＋ｂ）．图３图４２ａｂ２ａｂＨＫ＝ｂ－，ＫＦ＝－ａａ＋ｂａ＋ｂ因直角三角形ＨＫＦ与直角三

4、角形ＡＢＣ相似，图１８数学通报２０１５年第５４卷第２期ＡＢ＞ＢＣ，故ＨＫ＞ＫＦ，于是有ππ２２因＜θ＜，故槡＜ｓｉｎθ＜１，０＜槡１－ｃｏｔθ＜１，２ａｂ２ａｂ４２２ｂ－＞－ａａ＋ｂａ＋ｂ由此即得ａ、ｂ的调和中项、几何中项、算术中项、由此得不等式均方根、反调和中项之间中项之间的大小关系４ａｂ＜ａ＋ｂａ＋ｂ或即２２２ａｂａ＋ｂ＜ａｂ＜（１）（ａ＋ｂ）（２）故得均值不等式２ａｂａ＋ｂ＜槡ａｂ＜（２）ａ＋ｂ２３函数视角设内接于直角三角形ＡＢＣ、且与直角三角形具有一个公共直角的长方形的长为ｘ，则其面积为图５图６２ｂ

5、ｘｂａａｂ２２２２Ｓ（ｘ）＝ｘｂ－＝－ｘ－＋２ａｂａ＋ｂａ＋ｂａ＋ｂ（ａ）ａ（２）４＜槡ａｂ＜＜＜（４）ａ＋ｂ２槡２ａ＋ｂａ易知，当ｘ＝时，Ｓ（ｘ）最大．如图４，设Ｍ是５转换视角２让我们换一种视角来考察刘徽的勾股容方图ＡＣ的中点，ＭＱ和ＭＰ分别垂直于ＡＢ和ＢＣ，则．如图６，设ＥＣ＝ａ，ＡＧ＝ｂ（ａ＜ｂ），则ＥＦ＝ＧＦ＝ＱＢＰＭ是直角三角形ＡＢＣ的面积最大的内接长１槡ａｂ．过点Ｅ作ＣＡ的平行线，分别交ＧＦ和ＡＧ方形，其面积为ａｂ．因此有：４于Ｓ和Ｔ．易知，ＳＦ＝ＥＣ＝ａ，ＡＴ＝ＥＦ＝槡ａｂ．２ａｂ＜１ａｂ（３

6、）故有ＧＳ＝槡ａｂ－ａ，ＴＧ＝ｂ－槡ａｂ．因直角三角形（ａ＋ｂ）４ＴＧＳ与直角三角形ＡＧＦ或ＦＥＣ相似，又由ａ＜ｂ由此同样可得不等式（１）或（２）．知ＥＣ＜ＥＦ＝ＧＦ＜ＡＧ，故得ＧＳ＜ＴＧ，即４三角比值槡ａｂ－ａ＜ｂ－槡ａｂ（５）在刘徽的勾股容方图中，如果我们连接ＢＦ，这就是均值不等式（２）．并且作ＢＲ⊥ＡＣ，垂足为Ｒ，如图５所示．易知类似地，如图７，过点Ｆ作ＧＥ的平行线，交ＢＦ＝槡２ａｂ，ＢＲ＝ａｂＡＢ于Ｙ，交ＢＣ的延长线于Ｘ；过Ｃ作ＢＣ的垂ａ＋ｂ槡ａ２＋ｂ２线，交ＦＸ于Ｗ．因ＣＥ＜ＢＥ，故ＣＦ＜ＡＦ，从

7、而设∠ＢＦＲ＝θ，则有得ＷＣ＜ＡＹ．这就是不等ａｂ式（５）．２２ＢＲ槡ａ＋ｂｓｉｎθ＝＝不等式（５）亦可直接ＢＦ槡２ａｂａ＋ｂ槡ａｂ由比例性质得到：由ａ２２ａ＋ｂａ＋ｂ２槡２，ｂ得槡ａｂ－ａ＝＝２２＝＝ａ２＋ｂ２ａ＋ｂ槡ａｂａ槡２ａ＋ｂｂ－槡ａｂ，再由ａ＜槡ａｂ，即２ａｂ槡ａｂ２槡ａｂａ＋ｂ槡１－ｃｏｔθ＝＝．得（５）．这种推导方法可以ａ＋ｂ槡ａｂ２上溯到古希腊阿基米德的图７２０１５年第５４卷第２期数学通报９［２］著作中．式的多种几何方法．这样的探究有着诸多启示．６梯形模型（１）数学史为学生提供了探究的机会

8、，古老的转换视角之后，我们还可以通过梯形来考察“勾股容方图”展示了数学史的这一教育价值．历均值不等式．如图８，仍设ＥＣ＝ａ，ＡＧ＝ｂ（ａ＜ｂ）．史上的数学问题可以成为课堂上探究的起点；站过点Ｃ作ＢＣ的垂线ＣＵ，过点Ａ作ＡＢ的垂线在古人的肩膀上，必能有所创新．ＡＶ，分别交ＧＥ和ＥＧ的延长线于Ｕ和Ｖ．过ＡＣ（２）带着ＨＰＭ的眼光去阅读数学历史文献的中点Ｍ作ＢＣ和ＡＢ的平行线，分别交ＵＶ于时，这些文献将不再是过时的、冷