2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案和评分标准.pdf

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1、2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）3bc1．已知实数abc,,满足2a13b3c90，3a9bc72，则＝（）ab2A.2．B.1．C.0．D.1．【答】B.已知等式可变形为2(a2)3(3bbc)90，3(a2)(3bbc)72

2、，解得ab218，3bc3bc18，所以1.ab22．已知△ABC的三边长分别是abc,,，有以下三个结论：（1）以abc,,为边长的三角形一定存在；222（2）以abc,,为边长的三角形一定存在；（3）以

3、ab

4、1,

5、bc

6、1,

7、ca

8、1为边长的三角形一定存在.其中正确结论的个数为（）A．0．B．1．C．2．D．3．【答】C.不妨设abc，则有bca.22（1）因为bca，所以bc2bca，即()bc（a），即bca，故以abc,,为边长的三角形一定存在；222（2）以a2,b3,c4为边长可以构成三

9、角形，但以a4,b9,c16为边长的三角形不存在；（3）因为abc，所以

10、ab

11、1ab1,

12、bc

13、1bc1,

14、ca

15、1ac1，故三条边中

16、ca

17、1大于或等于其余两边，而（

18、ab

19、1）（

20、bc

21、1）（ab1）（bc1）=ac11ac1

22、ca

23、1，故以

24、ab

25、1，

26、bc

27、1，

28、ca

29、1为边长的三角形一定存在.3．若正整数abc,,满足abc且abc2(abc)，则称(,,)abc为好数组.那么，好数组的个数为（）A.1．B．2．C．3．D．4．【答】C.若(,,

30、)abc为好数组，则abc2(abc)6c，所以ab6.显然，a只能为1或2.5若a＝2，由ab6可得b2或3，b2时可得c4，b3时可得c（不是整数）；2若a＝1，则bc2(1bc)，于是可得(bc2)(2)6，可求得(,,)abc＝（1，3，8）或（1，4，2017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第1页（共7页）5）.综合可知：共有3个好数组，分别为（2，2，4），（1，3，8）和（1，4，5）.4．设O是四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，若BADACB180，且BC3，AD4，DOAC5，

31、AB6，则＝（）OB10864A.．B.．C.．D.．9753DE【答】A.C过B作BEAD//，交AC的延长线于点E，则ABE180BADACBCOACB，所以△ABC∽△AEB，所以，所以ABEBABBC6318ABEB.AC55DOAD410再由BEAD//，得.OBBE18955．设A是以BC为直径的圆上的一点，ADBC于点D，点E在线段DC上，点F在CB的延长线上，满足BAFCAE.已知BC15，BF6，BD3，则AE＝（）AA.43．B.213．C.214．D.215．【答】B.FBDEC如图，因为B

32、AFCAE，所以BAFBAECAEBAE，即FAEBAC90.2又因为ADBC，故ADDEDFDBDC.2而DFBFBD639，DCBCBD15312，所以ADDE9312，所以AD6，DE4.从而AEAD2DE26242213.11116．对于正整数n，设a是最接近n的整数，则（）naaaa123200191192193194A.．B.．C.．D.．7777【答】A.11221对于任意自然数k，()kkk不是整数，所以，对于正整数n，n一定不是整数.2421设

33、m是最接近n的整数，则

34、

35、mn，m1.2111222211易知：当m1时，

36、

37、mn(m)n(m)mmnmm.2224422于是可知：对确定的正整数m，当正整数n满足mm1nmm时，m是最接近n的整数，即am.所以，使得a＝m的正整数n的个数为2m.nn22注意到13131822001414210，因此，aa,,,a中，有：2个1，4个2，6个3，122002017年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第2页（共7页）8个4，……，26个13，18个14.111111111191所以

38、24626