2 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

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1、第2讲　平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

2、a

3、＝．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设A

4、(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

5、

6、＝．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．导师提醒1．理解基底需关注三点(1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．(3)如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到2．应用共线向量定理应注意两点(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y

7、2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．3．牢记两个结论(1)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.(2)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)(3)平面向量的基底不唯一，只要

8、基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　　)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×(教材习题改编)下列哪组向量可以作为平面向量的一组基底(　　)A．e1＝(－2，4)，e2＝(1，－2)B．e1＝(4，3)，e2＝(－3，8)C．e1＝(2，3)，e2＝(－2，－3)D．e1＝(3，0)，e2＝(4，0)解析：选B.对于A，e1＝－2e2，对于C，e1＝－e2，对于D，e1＝e2，对于B，不存在λ∈R，使e1＝λe2，故选B.

9、已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)A．(－7，－4)　B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)解析：选A.法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)A．c＝a＋bB．c＝－a－bC．c＝a＋bD．c＝a－b解析：选A.设c＝xa＋yb，则＝(

10、2x－y，x＋2y)，所以解得则c＝a＋b.(教材习题改编)向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b＝________．解析：由a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，所以b＝(－6，8)＝(－3，4)．答案：(－3，4)(教材习题改编)已知A(－2，－3)，B(2，1)，C(1，4)，D(－7，t)，若与共线，则t＝________．解析：＝(2，1)－(－2，－3)＝(4，4)，＝(－7，t)－(1，4)＝(－8，t－4)．因为与共线，所以4(t－4)－4×

11、(－8)＝0.即4t＋16＝0，所以t＝－4.答案：－4　　　　　　平面向量基本定理的应用(师生共研)(1)(一题多解)(2019·郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)A.－　　　　　B.－C．－＋D．－＋(2)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．【解析】　(1)法一：如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，所以＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－

12、＝－＝－＝－＋，故选C.法二：＝＋＝＋＝－＋＝－＋＝－＋＋＋(＋＋)＝－＋.(2)因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.【答案】　(1)C　(2)平面向量基本定理