第四章第2讲平面向量基本定理及坐标表示

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1、第2讲　平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

2、a

3、＝．(2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②

4、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

5、

6、＝．3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．[做一做]1．若向量＝(2，3)，＝(4，7)，则＝(　　)A．(－2，－4)　　　　　B．(2，4)C．(6，10)D．(－6，－10)答案：A2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c等于(　　)A.B.C.D.答案：D1．辨明三个易误点(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．(2)注意运用两个向量a，b共线坐

7、标表示的充要条件应为x1y2－x2y1＝0.(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．有关平面向量的两类本质平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．[做一做]3．已知e1，e2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是(　　)A．a＝0，b＝e1＋e2B．a＝3e1＋3e2，b＝e1＋e2C．a＝e1－2e2，b＝e1＋e2D．a＝e1－2e2，b＝2e1－4e

8、2答案：C4．已知向量a＝(1，m)，b＝(m，2)，若a∥b，则实数m等于(　　)A．－B.C．－或D．0答案：C__平面向量基本定理及其应用__________　如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.[解]　∵＝－＝a－b，＝＝a－b，∴＝＋＝a＋b.∵＝a＋b，∴＝＋＝＋＝＝a＋b，∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.[规律方法]　用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给

9、出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．　　　1.设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.由平面向量基本定理，得所以答案：　－__平面向量的坐标运算________________　已知A

10、(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量的坐标．[解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，∴＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．∴M(0，20)．

11、又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N(9，2)．∴＝(9，－18)．[规律方法]　平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．　　　2.已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，

12、

13、＝2

14、

15、，则向量的坐标是________．解析：由点C是线段AB上一点，

16、

17、＝2

18、

19、，得＝

20、－2.设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)，即解得所以向量的坐标是(4，7)．答案：(4，7)__平面向量共线的坐标表示(高频考点)____平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选