圆锥展开图及小虫爬行问题

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1、1.问题探究：（1）如图1所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形则蚂蚁爬行的最短路程即为线段的长）（2）如图2所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，是它的一条母线，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点，求蚂蚁爬行的最短路程．（3）如图3所示，在②的条件下，一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点，求蚂蚁爬行的最短

2、路程．(4)如图4所示，圆锥的底面圆的半径为3cm，母线长为9cm，C为母线PB的中点，一只蚂蚁欲从点A处沿圆锥的侧面爬到C处，则它爬行最短路程．BA图1PA图2PA图3图4BA图1图3PCA60°图2PA1.解：（1）易知即蚂蚁爬行的最短路程为5．（2）连结则的长为蚂蚁爬行的最短路程，设为圆锥底面半径，为侧面展开图（扇形）的半径，则由题意得：即是等边三角形最短路程为（3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，过作于点则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程．蚂蚁爬行的最短距离为nπ×9180(4)圆锥的底面周长是6π，则

3、6π=即圆锥侧面展开图的圆心角是120度．∴∠APB=60°则在圆锥侧面展开图中AP=9，PC=4.5，∠ACP=90度．AC=√AP2−PC2=9/2√32:长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是_________________．解:蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．路径一：AB==13；路径二：AB==；路径三：AB==；∵＞13＞

4、，∴cm为最短路径．