实数完备理论简史文献综述

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1、文献综述实数完备理论简史一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）许文超在《漫谈数系的发展》一文中指出：无理数的发现向人们揭示了有理数系的缺陷,即有理数虽然处处稠密,但有理数与有理数之间还存在有“孔隙”,后来人们又知这种“孔隙”简直是多得不可胜数。正因为如此,有理数系对极限运算不是封闭的。为了克服有理数系的这种缺陷,迅速发展极其有用的变量数学,在有理数的基础上,承认上述所说有理数与有理数之间的那种“孔隙”被一种叫做“无理数”的数占据着。因为有理数由无限循环小数组成(按照某一规则有限小数均可写成无限循环小数),所以无理数由无限不循环小数组成。有理数与无理数一

2、起构成了实数系。虽然如我们所看到的:有理数集合Q对四则运算(除数不为零)封闭,又在中处处稠密,有着无理数集所不可比拟的地位,但也如前面我们已经指出的,Q也有着很大的缺陷,在Q上无法研究数学分析。实数系的建立成功地克服了有理数系的缺陷。实数系的性质非常优良,一方面,实数系是连续的,也就是说在实数与实数之间不再有“孔隙”存在,换言之,实数可以与数轴上的点成一一对应的关系。这样一来,我们可以通过建立坐标系,用代数的方法去研究几何问题；另一方面,有了实数的连续性之后,实数系关于极限运算是封闭的,微积分从此有了坚实可靠的理论基础。实数系基本定理是数学分析中重要组成部分，是分析引论中极限理论的基础，也称为

3、实数系的连续性定理或实数的完备性定理。实数域的完备性是人类结果漫长的历史发展过程逐步总结认识的，它是所有函数分析理论的本质基础，由此而建立了极限论、微积分等许多重要的数学成果。我们将从数系发展开始深入研究实数完备性的七个命题的逻辑关系。定义设，是正整数，并且不管多大，都存在使得。设是整数。称记号为实数，称为它的整数部分。全体实数所成的集合记作足。描述实数连续性基本定理:定理1(确界定理)任何非空数集,若它有上(下)界,则必有上(下)确界。定理2(单调有界原理)单调有界数列必有极限。定理3(柯西收敛原理)收敛⇔,,当时,有。定理4(魏尔斯特拉斯定理)任一有界数列必有收敛子列。定理5(聚点定理)任

4、何有界的无限点集至少有一个聚点。定理6(闭区间套定理)若闭区间套满足下列性质①②则存在惟一且。定理7(有限覆盖定理)若开区间集覆盖一个闭区间,则必可从中选出有限个开区间覆盖[1]。这七个定理是数学分析的最基本的定理,由这些定理可以得出数学分析中许多重要的结论,因此这七个定理是数学分析的理论基础。然而我们可以证明在实数系中,这七个命题是相互等价的。连续性是实数集的许多重要特性之一。从有理数集扩充到实数集的方法很多,故对实数连续性的叙述也多种多样,但彼此等价,因此可用等价命题互相代替。本文结合实数完备性的背景、实数完备性七个等价命题的证明方法及其应用,对实数完备性的证明进行梳理、归纳，并举例进行说

5、明。二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）（一）历史背景17世纪，微积分被牛顿和莱布尼茨各自独立发明，推动了科学技术的前进。然而，它在开创之初自身就存在着逻辑矛盾。直至19世纪，才由法国著名数学家柯西在分析基础严密化的工作上迈出了第一大步。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。1823年，柯西给出了“柯西收敛定理”。而早在1817年，波尔察诺就确切地陈述了有界实数集的最小上界(即上确界)的定义。利用他的思想，魏尔斯特拉斯在19世纪60年代证明了“致密性定理”。海涅于1872年提出，波莱尔于1895年完善并证明了“有限覆盖定理”。1872年，戴德金、康托(

6、Cantor)、梅雷(Meray)和海涅几乎同时发表了他们的实数构造法。在这以前，魏尔斯特拉斯在柏林大学的演讲中已经给出了一种构造法。戴德金和康托的构造法是现在通常采用的方法。1892年，巴赫曼提出了建立实数理论的一个重要原理——区间套定理。可以说，实数系的构造是19世纪后30年间分析学算术化的重要一步[2]。（二）现状和发展方向实数完备性作为数学分析中的一个重要组成部分，目前已经有了丰富的研究成果，其中包括对实数完备性各个等价命题的证明及互推的研究。成果主要有：盖盈用完全覆盖法证明区间套定理、确界定理等其他实数完备性基本定理,并探究它的优越性究竟体现在何处，对此进行了一次尝试性剖析[3]；邹

7、斌以戴德金分划说为基础来研究实数的连续性,对于实数连续性的九个等价性命题:确界定理、戴德金定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则以及Botsko定理,采用循环论证,从命题1出发,依次证明下一命题,最后由命题9证明命题1,从而组成一个环路,证明了它们的等价性[4]；杨芳将实数连续性定理进行一对一的互推,给出了用定理1(确界定理)分别推出后六个定理,从而证得6