高中数学第三章变化率与导数3.2导数的概念及其几何意义导学案

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1、3.2导数的概念及其几何意义学习目标　1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.知识点一　导数的概念思考1　平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？答案　平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.梳理　定义式＝记法f′(x0)实质函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在

2、x＝x0处的瞬时变化率知识点二　导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1，2，3，4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为过点P的切线.思考1　割线PPn的斜率kn是多少？答案　割线PPn的斜率kn＝.思考2　当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？答案　kn无限趋近于切线PT的斜率k.梳理　(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.11(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数

3、就是切线的斜率k，即k＝＝f′(x0).(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).类型一　利用定义求导数例1　求函数f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数.解　∵Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，∴＝＝3Δx＋4，∴f′(1)＝＝(3Δx＋4)＝4.反思与感悟　求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率＝；(3)取极限，得

4、导数f′(x0)＝.跟踪训练1　利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数.解　由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)＝，而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，于是f′(2)＝＝(－Δx－1)＝－1.类型二　求切线方程命题角度1　求在某点处的切线方程例2　已知曲线y＝2x2上一点A(1，2)，求：(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程.解　(1)k＝＝11＝＝(4＋2Δx)＝4，∴点A处的切线的斜率为4.(2)点A处的切线方程是

5、y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.反思与感悟　求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2　曲线y＝x2＋1在点P(2，5)处的切线与y轴交点的纵坐标是.答案　－3解析　＝＝(4＋Δx)＝4，曲线y＝x2＋1在点(2，5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.命题角度2　曲线过某点的切线方程例3　求抛物线y＝x2过点(4，)的切线方程.解　设切线在抛物线上的切点为(x0，x)，∵＝(x0＋Δx)＝x0.∴＝x0，即x－8x0＋7＝0，解得x0＝7或x0＝1，即切线过抛物线y＝

6、x2上的点(7，)，(1，)，故切线方程为y－＝(x－7)或y－＝(x－1)，化简得14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0，即为所求的切线方程.反思与感悟　过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤(1)设切点(x0，y0)；11(2)建立方程f′(x0)＝；(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程.跟踪训练3　求过点(－1，－2)且与曲线y＝2x－x3相切的直线方程.解　＝＝[2－3x2－3xΔx－(Δx)2]＝2－3x2.设切点坐标为(x0，2x0－x).∴切线方程为y－2x0＋x＝

7、(2－3x)(x－x0).又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x0＋x＝(2－3x)(－1－x0)，即2x＋3x＝0，∴x0＝0或x0＝－.∴切点坐标为(0，0)或.当切点坐标为(0，0)时，切线斜率为2，切线方程为y＝2x，即2x－y＝0.当切点坐标为时，切线斜率为－，切线方程为y＋2＝－(x＋1)，即19x＋4y＋27＝0.综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为2x－y＝0或19x＋4y＋27＝0.类型三　导数的几何意义的综合应用例4　已知曲线f(x)＝x2＋1与g(x)＝x3＋1在x＝x0处的切线互相垂

8、直，求x0的值.解　因为f′(x0)＝＝(Δx＋2x0)＝2x0，g′(x0)＝＝[(Δx)2＋3x0Δx＋3x]＝3x，k1＝2x0，k2＝3x，11因为切线互相垂直，所以k1k2＝－1，即6x＝－1，解得x0＝－.引申探究　若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？解　由例4知，