2017_18学年高中数学第1章坐标系章末分层突破学案北师大选修

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1、第1章坐标系章末分层突破①极坐标②柱坐标③空间直角坐标系④球坐标　　平面直角坐标系与曲线方程1.利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点).2.坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单.　设△ABC的周长为18，

2、AB

3、＝8，求顶点C的轨迹方程.【精彩点拨】　建立适当的平面直角坐标系，利用如周长为18，即AC＋BC＝10这个条件.【规范解答】　以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y10轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A(－4,0)，B(4,0)，设点坐标为

4、(x，y)，由此得：

5、CA

6、＋

7、CB

8、＝10，又10＞

9、AB

10、，所以C点轨迹是中心在原点，以A，B为焦点的椭圆，但应扣除其与x轴的交点，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，由此得：a＝5，c＝4，∴b＝＝＝3，故所求轨迹方程为＋＝1(x≠±5).1.如图11，圆O1和圆O2的半径都是1，

11、O1O2

12、＝4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)使得

13、PM

14、＝

15、PN

16、，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.图11【解】　如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(－2,0)，O2(2

17、,0).设P(x，y)，则

18、PM

19、2＝

20、PO1

21、2－

22、MO1

23、2＝(x＋2)2＋y2－1.同理，

24、PN

25、2＝(x－2)2＋y2－1.∵

26、PM

27、＝

28、PN

29、，即

30、PM

31、2＝2

32、PN

33、2，即(x＋2)2＋y2－1＝2，即x2－12x＋y2＋3＝0，即动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.10简单的极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程φ(ρ，θ)＝0，如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程φ(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程.由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的

34、点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程.求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标ρ，θ的关系式f(ρ，θ)表示出来，就得到曲线的极坐标方程.　已知Rt△ABO的直角顶点A在直线ρcosθ＝9上移动(O为原点)，又∠AOB＝30°，求顶点B的轨迹的极坐标方程.【精彩点拨】　设B(ρ，θ)，利用直角三角形中的三角函数建立ρ与θ的关系，化简即可求解.【规范解答】　如图①，设B(ρ，θ)，A(ρ1，θ1).则ρcos30°＝ρ1，即ρ1＝ρ.又∵

35、ρ1cosθ1＝9，而θ1＝θ－30°，∴ρcos30°cos＝9，即ρcos＝6.若点B的位置如图②所示，同理得点B的轨迹方程为ρcos＝6.综上所述，点B的轨迹方程为ρcos＝6.2.求圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程.【解】　法一：设圆心C的直角坐标为(x0，y0)，则x0＝3cos＝，y0＝3sin＝.10所以圆的方程为2＋2＝9，即x2＋y2－3x－3y＝0，所以ρ2＝3ρcosθ＋3ρsinθ，即ρ＝6cos.法二：如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，则

36、OP

37、＝ρ，∠POA＝θ－，

38、OA

39、＝2×3＝6.在Rt△POA中，

40、OP

41、＝

42、OA

43、cos∠POA

44、，则ρ＝6cos，即圆的极坐标方程为ρ＝6cos.极坐标与直角坐标的互化直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcosθ，ρsinθ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性.　把下列极坐标方程化为直角坐标方程.(1)ρ＝2acosθ(a>0)；(2)ρ＝9(sinθ＋cosθ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcosθ－3ρsinθ＝5.【精彩点拨】　利用转化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ.【规范解答】　(1)ρ＝2acosθ，两边同时乘以ρ

45、，得ρ2＝2aρcosθ，即x2＋y2＝2ax.整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2，是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆.(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sinθ＋cosθ)，即x2＋y2＝9x＋9y，又可化为2＋2＝，10是以为圆心，以为半径的圆.(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16，是以原点为圆心，以4为半径的圆.(4)2ρcosθ－3ρsinθ＝5，即2x－3y＝5，是一条直线.3.已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝3，ρ＝4cosθ，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________.【导学号：129