2016版高中数学人教A版必修四文档：第一章§7．1正切函数的定义、7．2正切函数的图像与性质、7．3正切函数的诱导公式 Word版含答案

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1、§7　正切函数7．1　正切函数的定义7．2　正切函数的图像与性质7．3　正切函数的诱导公式1．问题导航(1)用正切线作正切函数的图像与作哪个三角函数的图像的方法类似？该方法有什么优缺点？(2)正切函数的定义域能写成(k∈Z)吗？为什么？(3)正切函数的诱导公式的实质是什么？2．例题导读P39例1.通过本例学习，学会已知一个角的正切值，求这个角的正弦值和余弦值的方法．试一试：教材P40习题1－7A组T1、T2你会吗？P40例2.通过本例学习，学会利用正切函数的诱导公式进行化简求值．试一试：教材P41习题1－7A组T7(1)你会吗？1．正切函数的定义在直角坐标系中，

2、如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，且角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么比值叫作角α的正切函数，记作y＝tan_α，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z．根据正切函数与正弦函数、余弦函数的定义可知tanα＝(比值叫作角α的余切函数，记作y＝cotα，其中α∈R且α≠kπ，k∈Z)．2．正切线(1)定义：在直角坐标系中，设单位圆与x轴的非负半轴的交点为A(1，0)，过点A(1，0)作x轴的垂线，与角α的终边或其终边的延长线相交于T点，则称线段AT为角α的正切线．(2)画法：3．正切函数的图像与性质解析式y＝tanx图像定义域{x

3、x∈R，x≠＋kπ，k∈

4、Z}值域R周期kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期是π奇偶性奇函数单调性在开区间(k∈Z)上都是增函数对称性正切曲线是中心对称图形，其对称中心是(k∈Z)4.正切函数的诱导公式(1)tan(2π＋α)＝tan_α(1.16)；(2)tan(－α)＝－tan_α(1.17)；(3)tan(2π－α)＝－tan_α(1.18)；(4)tan(π－α)＝－tan_α(1.19)；(5)tan(π＋α)＝tan_α(1.20)；(6)tan＝－cotα(1.21)；(7)tan＝cotα(1.22)．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数在整个定义

5、域内是增函数．(　　)(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．(　　)(3)正切函数图像相邻两个对称中心的距离为周期π.(　　)(4)函数y＝tanx为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x)＝－tanx．(　　)解析：(1)错误．如x1＝，x2＝，但tan>tan，不符合增函数的定义．(2)错误．正切函数在每个单调区间上都为增函数．(3)错误．正切函数图像相邻两个对称中心的距离为半周期，故此说法是错误的．(4)错误．当x＝＋kπ(k∈Z)时，tanx没有意义，此时式子tan(－x)＝－tanx不成立．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．y＝tan(

6、x＋π)是(　　)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：选A.因为y＝tan(x＋π)＝tanx，所以y＝tan(x＋π)是奇函数．3．函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________．解析：由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，即x≠＋kπ(k∈Z)．故定义域为，且f＝tan＝.答案：　4．化简：＝________．解析：原式＝＝＝tanθ.答案：tanθ1．对正切函数图像的理解(1)正切函数的图像是由被互相平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线．(2)正切函数的图像

7、向上、向下无限延伸，但永远不和x＝＋kπ(k∈Z)相交，与x轴交于点(kπ，0)(k∈Z)．(3)正切函数的简图可用“三点两线”画出来，“三点”是指(0，0)，，；“两线”是指x＝和x＝－.作简图时只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－，x＝，然后描出三点(0，0)，，，用光滑的曲线连接得一条曲线，再平行移动至各个周期内即可．注意：直线x＝＋kπ，k∈Z叫作正切曲线的渐近线，正切曲线与渐近线无限接近但不相交．2．对正切函数的性质的理解(1)正切函数的单调性表现为在每一单调区间内只增不减，这一点必须注意．(2)正切函数的图像的对称中心为(k∈Z)，而不是(kπ，0

8、)(k∈Z)，它没有对称轴．3．对正切函数的诱导公式的理解(1)公式的特点与记忆2π±α，－α，π±α的正切函数值等于α的正切函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．为了便于记忆，也可简单地说成“函数名不变，符号看象限”．(2)利用“化切为弦”的方法证明正切函数的诱导公式“化切为弦”是指利用tanα＝，α∈R，且α≠＋kπ，k∈Z，把某角的正切函数值转化为该角正弦函数值与余弦函数值的商，再根据正弦、余弦的有关结论解决问题．例如，tan(－α)＝＝＝－tanα.(3)诱导公式的应用利用诱导公式可把任意角的正切函数转化为锐角三角函数．即　　　　　　　正切函

9、数的图像　求函数f(x)